Ray Tracing

Ray Tracing

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/724/C

拓展欧几里得

//为什么这次C题这么难啊=。=

可以观察到，光线在矩形中运动的时间为LCM（n，m），所以可以把整个矩阵扩展成LCM（n，m）*LCM（n，m）的矩阵[光线从（0,0）点一直射到（LCM（n，m），LCM（n，m））点]，然后将点关于矩形的四条边变换到直线y=x上，取最小的即可。

变换后得到的点的纵坐标为2*p*n±X，横坐标为2*q*m±Y，因为要求在直线y=x上，故2*p*n±X=2*q*m±Y，移项得2*p*n-2*q*m=±X±Y。

而拓展欧几里得可以解不定方程a*x+b*y=c，其中c=GCD（a，b），令a=2*n，b=-2*m，求得x和y。

将方程a*x+b*y=c变换成2*p*n-2*q*m=±X±Y，得到p或q，求出2*p*n±X或2*q*m±Y即可。

//注意求得的p或q要为自然数

代码如下：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const LL INF=;
 LL GCD(LL a,LL b){
     return b==?a:GCD(b,a%b);
 }
 LL exGCD(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
     if(b==){
         x=,y=;
         return a;
     }
     LL t=exGCD(b,a%b,x,y);
     LL r=x;x=y;y=r-a/b*y;
     return t;
 }
 LL LCM(LL a,LL b){
     LL gcd=GCD(a,b);
     return (a/gcd)*b;
 }
 LL n,m,k,x,y,p,q,a,b,lim,mul;
 LL mix(LL x,LL y){
     LL t=x-y;
     if(t%mul!=)return INF;
     t/=mul;
     p=a*t;
     LL mod=abs((-*m)/mul);//mod is the t of p*x*t-q*y*t=gcd*t
     p=(p%mod+mod)%mod;
     LL tmp=INF;
     LL tt=*n*p-x;
     if(<tt&&tt<=lim)tmp=min(tmp,tt);
     return tmp;
 }
 int main(void){
     scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&k);
     lim=LCM(n,m);
     for(LL i=;i<k;++i){
         scanf("%I64d%I64d",&x,&y);
         mul=exGCD(*n,-*m,a,b);
         //mul=GCD(2*n,-2*m);
         LL ans=INF;
         ans=min(ans,mix(-x,y));
         ans=min(ans,mix(x,y));
         ans=min(ans,mix(-x,-y));
         ans=min(ans,mix(x,-y));
         if(ans<INF)printf("%I64d\n",ans);
         else printf("-1\n");
     }
 }