bzoj4008: [HNOI2015]亚瑟王【期望dp】

　　一个特别神奇的dp，特别厉害。

　　f(i, j) 表示 有 j 轮发动技能的牌在 [1, i] 另外的m - j轮在[i + 1, n]之间的概率。

　　怎么转移呢？

　　首先考虑i这张牌不选的情况，f(i - 1, j) 表示 j --> [1, i - 1] && m - j --> [i, n]        (用箭头表示在[]之间...)，那么我们只需要让在[i, n]之间的m - j个选择都不是i即可，那么我们应该 * (1 - p[i]) ^ (m - j)

　　再考虑这张牌我们要选的情况，f(i - 1, j - 1)表示 j - 1 --> [1, i - 1] && m - j + 1 --> [i, n]， 那么我们需要m - j + 1中至少有一个i, 所以我们应该 * (1 - (1 - p[i]) ^ (m - j + 1))

　　所以就有了转移方程：

$\mbox{f(i, j) = f(i - 1, j) * (1 - p[i]) ^ {m - j} + f(i - 1, j - 1) * (1 - (1 - p[i]) ^ {m - j + 1})}$

　　那么初始条件是多少呢？ f(0, 0) == 1 为什么呢：

　　m次选择都在n之间的概率为1，那么f(n, m) == 1，这意味着m --> [1, n] 那么 另外的 0个选择--> 0，所以f(0, 0) == 1.

　　那么答案是多少呢？

　　应该是对于每一个扑克牌，我们扫描整个m轮，用当前的概率与扑克牌的贡献的成绩累加答案。

　　ans += d[i] * f[i - 1][j] * (1 - pow(1 - p[i], m - j)); 用j --> [1, i - 1] && m - j --> [i, n] 并且m - j中至少有一个i。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
 #define drep(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i--)
 #define REP(i, a, b) for (int i = a; i < b; i++)
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 #define clr(x) memset(x, 0, sizeof(x))
 #define xx first
 #define yy second
 using namespace std;
 typedef long long i64;
 typedef pair<int, int> pii;
 const int inf = ~0U >> ;
 const i64 INF = ~0ULL >> ;
 //***********************************

 long double p[]; int d[];
 long double f[][];

 int main() {
     int T; scanf("%d", &T);
     while (T--) {
         int n, m;
         scanf("%d%d", &n, &m);
         rep(i, , n) scanf("%Lf%d", &p[i], &d[i]);
         memset(f, , sizeof(f));
         f[][] = ;
         rep(i, , n) {
             rep(j, , m) f[i][j] = f[i - ][j] * pow( - p[i], m - j) + f[i - ][j - ] * ( - pow( - p[i], m - j + ));
         }
         long double ans();
         rep(i, , n) {
             rep(j, , m) {
                 ans += d[i] * f[i - ][j] * ( - pow( - p[i], m - j));
             }
         }
         printf("%.10Lf\n", ans);
     }
     return ;
 }

　　有一点还不太理解，就是在转移的时候，假如我们选取了i，那么用f(i - 1, j - 1)转移的时候乘的是至少有一个i的概率，那假如大于1个那么和题意不就矛盾了吗。。求助。。。