LightOJ 1419 – Necklace Polya计数+费马小定理求逆元
**题意:**给你n个珠子可以染成k种颜色,旋转后相同的视为一种,问共有几种情况
**思路:**开始按照一般的排列组合做发现情况太多且要太多运算,查了下发现此题是组合中Polya定理模板题…
学的浅只能大致一说公式**Sigma(k^gcd(i-1,n))/n**求和数量取决于置换群数量,由于这个成环共有n个置换群,而GCD是求当前置换群的等价置换的数量。
注意由于最后要除n,如果直接取模会出现问题。通过费马小定理求得乘法逆元为pow(n,p-2)%p; 其中p为质数。
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <queue>
#define LL long long
#define MMF(x) memset((x),0,sizeof(x))
#define MMI(x) memset((x), INF, sizeof(x))
using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5+2000;
const LL mod = 1000000007;
LL gcd(LL a, LL b)
{
return b==0?a:gcd(b, a%b);
}
LL poww(LL a, LL n)
{
LL r = 1;
while(n)
{
if(n & 1)
{
r = (r * a) % mod;
}
n >>= 1;
a = (a * a) % mod;
}
return r % mod;
}
int main()
{
int T;
int cnt = 0;
cin >> T;
while(T--)
{
LL n, k, sum = 0;
scanf("%lld%lld", &n, &k);
for(LL i = 0; i < n; i++)
{
LL t = gcd(n, i);
sum = (poww(k, t) + sum ) % mod;
}
printf("Case %d: %lld\n", ++cnt,(sum*poww(n, mod-2))%mod);//费马小定理求逆元
}
return 0;
}
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