项链(burnside)

Description

有一个长度为 \(n\) 的项链,首尾相接形成环,现在你要给每一个位置一个颜色 \([1,m]\), 求所有不同的项链个数(可以通过旋转变成一样的称为相同)

Solution

根据 \(burnside\) 引理,答案为 \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{|G|}c1_i\)

也就是枚举所有的置换,求不动点个数之和

置换一共有 \(n\) 种,分别为 \(1,2...n\)

枚举旋转的长度 \(i\) ,那么循环节的大小为 \(\frac{n}{gcd(i,n)}\) , 循环节个数为 \(gcd(i,n)\)

为什么?要使得 \(k*i \mod n=0\) ,那么 \(k*i\) 的最小值就是 \(lcm=\frac{i*n}{gcd(i,n)}\) ,所以 \(k\) 就等于 \(\frac{n}{gcd(i,n)}\) 了

那么要使得这个点为不动点(旋转 \(i\) 之后一模一样),那么同一循环节里面的点必须颜色相同

那么点的可以缩减为 \(gcd(i,n)\) 种

相当于问题转化为用 \(m\) 中颜色去覆盖 \(x=gcd(i,n)\) 个位置,我们设方案数为 \(calc(x,m)\)

转化为求 \(\sum_{i=1}^{n}calc(gcd(i,n),m)\)

枚举 \(gcd\)

答案就是 \(\sum_{i=1}^{n}calc(i)*phi[\lfloor\frac{n}{i}\rfloor]\)

\(calc\) 函数可以用矩乘求出

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T>void gi(T &x){
	int f;char c;
	for(f=1,c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')f=-1;
	for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=getchar())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
const int N=1e7+10,mod=9973;
int prime[N],num=0,phi[N],n,K,m;bool vis[N];
inline void priwork(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2,t;i<N;i++){
		if(!vis[i])prime[++num]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=num && i*prime[j]<N;j++){
			vis[t=i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j])phi[t]=phi[i]*(prime[j]-1);
			else {phi[t]=phi[i]*prime[j];break;}
		}
	}
}
inline int getphi(int x){
	if(x<N)return phi[x];
	int lim=sqrt(x),ret=x;
	for(int i=1;i<=num && prime[i]<=lim;i++){
		if(x%prime[i]==0){
			ret=ret/prime[i]*(prime[i]-1);
			while(x%prime[i]==0)x/=prime[i];
		}
	}
	if(x>1)ret=ret/x*(x-1);
	return ret;
}
struct mat{
	int a[10][10];
	inline void init(){memset(a,0,sizeof(a));}
	inline mat operator *(const mat &p)const{
		mat ret;
		for(int i=0;i<m;i++)
			for(int j=0;j<m;j++){
				ret.a[i][j]=0;
				for(int k=0;k<m;k++)
					if(a[i][k] && p.a[k][j])
						ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+a[i][k]*p.a[k][j])%mod;
			}
		return ret;
	}
}S,T;
inline int calc(int x){
	S.init();
	for(int i=0;i<m;i++)S.a[i][i]=1;
	mat D=T;x--;
	while(x){
		if(x&1)S=S*D;
		D=D*D;x>>=1;
	}
	int ret=0;
	for(int i=0;i<m;i++)
		for(int j=0;j<m;j++)ret=(ret+S.a[i][j]*T.a[i][j])%mod;
	return ret;
}
inline int qm(int x,int k){
	int sum=1;if(x>=mod)x%=mod;
	while(k){
		if(k&1)sum=sum*x%mod;
		x=x*x%mod;k>>=1;
	}
	return sum;
}
inline void work(){
	int x,y;
	cin>>n>>m>>K;
	T.init();
	for(int i=0;i<m;i++)for(int j=0;j<m;j++)T.a[i][j]=1;
	for(int i=1;i<=K;i++){
		gi(x);gi(y);x--;y--;
		T.a[x][y]=T.a[y][x]=0;
	}
	int lim=sqrt(n),ans=0;
	for(int i=1;i<=lim;i++){
		if(n%i)continue;
	   ans=(ans+1ll*calc(i)*getphi(n/i))%mod;
		if(i*i!=n)ans=(ans+1ll*calc(n/i)*getphi(i))%mod;
	}
	ans=ans*qm(n,mod-2)%mod;
	cout<<ans<<endl;
}
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  priwork();
  int T;cin>>T;
  while(T--)work();
  return 0;
}