BZOJ 1485: [HNOI2009]有趣的数列

Description

求长度为 \(2n\) 的序列.要求

1. \(a_1<a_3<a_5<...<a_{2n-1}\) .

2. \(a_2<a_4<a_6<...<a_{2n}\) .

3. \(a_{2k-1}<a_{2k} ,1\leqslant k\leqslant n\) .

Sol

\(Catalan\) 数.

我们发现 \(a_{2k}\) 必然要大于它前面的所有奇数项.

如果我们把数字 \(1,2,3,...,2n-1,2n\) 全部列出来,它只有两种决策,一种是放入奇数项,一种是放入偶数项.

我们就可以DP了...

\(f[i][j]\) 表示前 \(i\) 个数,其中 \(j\) 个放入奇数项的方案数.

转移就是 \(f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]\) .

不过转移是有条件的,需要满足 \(j \leqslant  \left \lfloor \frac {i} {2} \right \rfloor \) .

然后这就是 \(Catalan\) 数的一个应用了,不跨过图上直线 \(y=x\) ,此时只需要令 \(k=\frac {i} {2},j \leqslant k\) 就可以看出来了.

还有一个问题就是 \(p\) 不是质数,在两个数不互质的时候没有逆元,所以我们需要分解质因数来计算,可以用线性筛筛出最小质因子,每次除去就可以统计出来了.

因为每个数的质因子个数不超过 \(logn\) ,所以复杂度 \(O(nlogn)\)

Code

/**************************************************************
    Problem: 1485
    User: BeiYu
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:660 ms
    Memory:26680 kb
****************************************************************/

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 2000005;

int n,cnt;LL p,ans;
bool b[N];int minp[N],pr[N],c[N];

void Pre(int LIM){
    minp[1]=1;
    for(int i=2;i<=LIM;i++){
        if(!b[i]) pr[++cnt]=i,minp[i]=cnt;
        for(int j=1;j<=cnt && pr[j]*i<=LIM ;j++){
            b[pr[j]*i]=1,minp[pr[j]*i]=j;
            if(i%pr[j]==0) break;
        }
    }
}
LL Pow(LL a,LL b,LL res=1){ for(;b;b>>=1,a=a*a%p) if(b&1) res=res*a%p;return res; }
void Add(int x,int v){ while(x>1) c[minp[x]]+=v,x/=pr[minp[x]]; }
int main(){
    cin>>n>>p;
    Pre(2*n);

//  for(int i=1;i<=cnt;i++) cout<<pr[i]<<" ";cout<<endl;
//  for(int i=1;i<=n;i++) cout<<minp[i]<<" ";cout<<endl;

    for(int i=n+2;i<=2*n;i++) Add(i,1);
//  cout<<"qwq"<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++) Add(i,-1);

    ans=1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++) ans=ans*Pow(pr[i],c[i])%p;
    return cout<<ans<<endl,0;
}