NC53079 Forsaken喜欢数论

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题目

题目描述

​ Forsaken有一个有趣的数论函数。对于任意一个数 \(x\) ， \(f(x)\) 会返回 \(x\) 的最小质因子。如果这个数没有最小质因子，那么就返回0。

​ 现在给定任意一个 \(n\) ，Forsaken想知道 \(\sum_{i = 1}^{n}{f(i)}\) 的值。

输入描述

一个整数 \(n\) 。

输出描述

一个整数代表上面的求和式的值。

示例1

输入

4

输出

7

备注

\(1 \leq n \leq 3e7\)

题解

知识点：筛法。

线性筛本身即是用最小质因子筛质数，因此只需要在中间记录最小质因子即可。

这种性质可以使得我们可以线性求出积性函数的值。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 3e7 + 7;
bool vis[N];
vector<int> prime;
int f[N];
void get_prime(int n) {
    f[1] = 0;
    for (int i = 2;i <= n;i++) {
        if (!vis[i]) prime.push_back(i), f[i] = i;
        for (auto j : prime) {
            if (i * j > n) break;
            vis[i * j] = 1;
            f[i * j] = j;
            if (!(i % j)) break;
        }
    }
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    get_prime(n);
    ll ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) ans += f[i];
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}