Miller Rabin算法学习笔记

定义：##

Miller Rabin算法是一个随机化素数测试算法，作用是判断一个数是否是素数，且只要你脸不黑以及常数不要巨大一般来讲都比$O(\sqrt n)$的朴素做法更快。

定理：##

Miller Rabin主要基于费马小定理：

\[a ^ {p-1} \equiv 1 (mod p)$$其中$p$是质数。
于是就有~~闲得没事干的~~一群科学家们想，这个问题的逆命题是否成立呢？

> 逆命题：若对于任意$a$，$a ^ {p-1} \equiv 1 (mod p)$都成立，那么$p$是质数。

在很长一段时间里，所有人几乎都以为它是成立的。~~然鹅你们手玩一个$a=8, p = 9$试试~~
是的，这个东西被搞出了反例。不过幸运的是，用这个办法测试通过的数，还是有很大概率是质数的。
这好办，我们多搞几次不就可以当做它就是质数了吗！~~脸黑另说~~

##算法流程：##
首先我们还得了解一个叫二次探测定理的东西：

> $$若p是质数，且x^2 \equiv 1 (mod p)，则有x \equiv ±1 (mod p)\]

证明很简单，第一个式子右边丢过去平方差即可。由于p是质数，所以它肯定不是$(x-1)和(x+1)$凑起来的，故两个里面总有一个是$p$的倍数。

而且很容易脑补的是，这个东西的逆命题是成立的。（划重点）

所以根据这两个定理，我们设计一波算法：

假设我们要判断的数是$p$，那么$2$特判一波，剩下的质数肯定是奇数。

所以$p-1$一定是一个偶数。然后就好办啦！

我们把$p-1$分解成$2^k * t$，当$p$是素数时，根据费马小定理有$$a ^ {2^k * t} \equiv 1 (mod p)$$

那么我们随机出一个$a$，然后求出$a^t$，再不断乘上$a$，每次进行二次探测，边乘边模，若乘之前不符合二次探测，而乘之后符合，那么p是合数，不符合题意。自乘$k$次，最后得到$a^{p-1}$，如果模$p$不等于1，则也是合数。（不符合费马小定理）

老祖宗告诉我们（这个我也不会证），每一次通过测试的数不是质数的概率为$\frac{1}{4}$，则测试$k$次，错误的概率为$\frac{1}{4^k}$，$k>6$的时候基本就血赚了。

代码：##

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

int c[23] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43};

int n, m;

inline ll read() {

    ll cnt = 0, f = 1; char c;

    c = getchar();

    while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -f; c = getchar();}

    while (isdigit(c)) {cnt = (cnt << 3) + (cnt << 1) + c - '0'; c = getchar();}

    return cnt * f;

}

inline ll ksm(ll a, ll b, ll c) {

    ll ans = 1;

    while (b) {

        if (b & 1) ans = ans * a % c;

        a = a * a % c, b >>= 1;

    }

    return ans % c;

}

bool miller_rabin(int p) {

    if (p == 1) return false;

    if (p == 2) return true;

    if (p % 2 == 0) return false;

    bool f = 1;

    for (register int i = 0; i <= 13; ++i) {

        if (c[i] == p) return true;

        ll x = p - 1, y = 0;

        while (x % 2 == 0) x /= 2, ++ y;   // 将p-1分解成2^y*x

        ll cur = ksm(c[i], x, p);  //计算出a^x % p

        if (cur == 1) continue; //小优化，如果此时结果为1，那么无论如何自乘也为1

        for (register int j = 1; j <= y; ++j) {

            ll nxt = cur * cur % p;  //不断自乘

            if (nxt == 1 && cur != p - 1 && cur != 1) {

                f = 0;

                break;

            }

            cur = nxt;

        }

        if (cur != 1) f = 0;

        if (!f) break;

    }

    return f;

}

int main() {

	n = read(); m = read();

	while (m--) {printf(miller_rabin(read()) ? "Yes\n" : "No\n");}

    return 0;

}