Fibonacci Nim（斐波那契尼姆）游戏

游戏描述：

Fibonacci Nim是Nim游戏的变种，其规则为两名玩家从一堆硬币中交替移除硬币，第一步中，不允许玩家拿走所有硬币，也不允许不取，并且在每次后续移动中，移除的硬币数量最多可以是上一次移除数量的两倍，拿走最后一枚硬币的玩家获胜或者失败,如果判失败，只要第一个人取走\(n-1\)个硬币就必胜

结论

如果双方足够聪明，只要开局硬币数量不是斐波那契数，那么当\(n\)为斐波那契数的时候先手必败（即后手必胜）

证明

如果硬币数量是斐波那契数，设该数为\(F(k+2)\),有\(F(k+2)=F(k+1)+F(k)\),可以将硬币看作两堆\(F(k+1)\)和\(F(k)\),如果先手取走\(F(k)\)及以上，那么后手必胜，（毕竟\(F(k+1)<2*F(k)\))，那么先手只能在\(F(k)\)的一堆中取硬币，就是上一个问题的子问题，那么后手也肯定能取走该堆最后一枚硬币，那么剩下的一堆硬币也可以如此拆分，那么如此先手必败。如果硬币数量不是斐波那契数，根据Zeckendorf定理（齐肯多夫定理），正整数都可以表示成若干个不连续的斐波那契数之和。那么我们可以将硬币数\(n\)表示为\(n=F(a_1)+F(a_2)+.....F(a_n)\),\((a_1>a_2>.....a_3)\),先手可以先取完最小的一堆,由于各个斐波那契数不连续，即有\(F(a_{i-1})>2F(a_i)\),后手肯定取不完剩下的最少的一堆硬币，此时相当于后手面对该游戏的必败态，对于以后的每一堆，先手都能取到这一堆的最后一枚硬币从而获胜