Tarjan-有向图

（我到底是咕了多少知识点啊）

在有向图中tarjan主要用来求强连通分量并缩点

一、定义

强连通：如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点 强连通

强连通分量：如果有向图G的每两个顶点都 强连通，称G是一个强连通图。非 强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量

树枝边：原图上的边中，在DFS树上由父亲指向儿子的叫树枝边

前向边：由父亲指向儿子以下的其他后代的叫前向边

后向边：由后代指向祖先的边叫后向边

横叉边：一个子树中的点指向另一个子树中的点的边叫横叉边

二、tarjan

用来求强联通分量

基于dfs

每个强连通分量为搜索树中的一颗子树

三、算法

首先要引入两个非常重要的数组：dfn[ ] 和 low[ ]

dfn[ ] :就是一个时间戳（被dfs到的次序）。

low [ ] : 该子树中，且仍在栈中的最小时间戳(即可以到达的图中dfn值最小的点得dfn值)

这个图不一定是一个连通图，所以跑tarjan的时候要枚举每个点

若dfn[ ] == 0，进行深搜

然后对于搜到的点寻找与其有边相连的点，判断这些点是否已经被搜索过，若没有，则进行搜索。若该点已经入栈，说明形成了环，则更新low.

在不断深搜的过程中如果没有路可走了（出边遍历完了），那么就进行回溯，回溯时不断比较low[ ]，去最小的low值。如果dfn[x]==low[x]则x可以看作是某一强连通分量子树的根，也说明找到了一个强连通分量，然后对栈进行弹出操作，直到x被弹出。

洛谷缩点板子题

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

inline int read()
{
    int sum = ,p = ;
    char ch = getchar();
    while(ch < '' || ch > '')
    {
        if(ch == '-')
            p = -;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= '' && ch <= '')
    {
        (sum *= ) += ch - '';
        ch = getchar();
    }
    return sum * p;
}

const int maxn = 1e5+1e4,maxm = 1e5 + 1e4;
int vis[maxn],dfn[maxn],low[maxn],tim;
int ncnt,bel[maxn],sum[maxn],f[maxn];
int cnt,head[maxn],nxt[maxm],to[maxm];
int sta[maxn],top;
int n,m,val[maxn],x[maxm],y[maxm],ans;

void add(int a,int b)
{
    nxt[++cnt] = head[a];
    to[cnt] = b;
    head[a] = cnt;
}

void tarjan(int x)
{
    dfn[x] = low[x] = ++tim;
    sta[++top] = x;
    vis[x] = ;
    for(int i = head[x];i;i = nxt[i])
    {
        int v = to[i];
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v);
            low[x] = min(low[x],low[v]);
        }
        else if(vis[v])
            low[x] = min(low[x],dfn[v]);
    }
    if(low[x] == dfn[x])
    {
        ncnt++;
        while(sta[top+] != x)
        {
            bel[sta[top]] = ncnt;
            sum[ncnt] += val[sta[top]];
            vis[sta[top--]] = ;
        }
    }
}

void search(int x)
{
    if(f[x])
        return;
    f[x] = sum[x];
    int maxsum = ;
    for(int i = head[x];i;i = nxt[i])
    {
        if(!f[to[i]])
            search(to[i]);
        maxsum = max(maxsum,f[to[i]]);
    }
    f[x] += maxsum;
}

int main()
{
    n = read();
    m = read();
    for(int i = ;i <= n;i++)
        val[i] = read();
    for(int i = ;i <= m;i++)
    {
        x[i] = read();
        y[i] = read();
        add(x[i],y[i]);
    }
    for(int i = ;i <= n;i++)
        if(!dfn[i])
            tarjan(i);
    memset(head,,sizeof(head));
    memset(nxt,,sizeof(nxt));
    memset(to,,sizeof(to));
    cnt = ;
    for(int i = ;i <= m;i++)
    {
        if(bel[x[i]] != bel[y[i]])
            add(bel[x[i]],bel[y[i]]);
    }
    for(int i = ;i <= ncnt;i++)
        if(!f[i])
        {
            search(i);
            ans = max(ans,f[i]);
        }
    printf("%d",ans);
    return ;
}