[HNOI 2008]玩具装箱

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

题解

斜率优化$DP$。

之前有篇博文有详解=>戳我<=

我们写出原始转移方程：

f[i] = max(f[j]+sqr(sum[i]-sum[j]+i-j--l))

由于可以将常数约去，我们不妨只将与j有关的放在一起

f[i] = max(f[j]+sqr((sum[i]+i--l)-(sum[j]+j)))

那么就是之前的套路了。

化简后，我们可以设出

yi = f[i]+sqr(sum[i]+i)
xi = *(sum[i]+i)

单调队列维护下凸包即可。

 #include <set>
 #include <map>
 #include <ctime>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <vector>
 #include <cstdio>
 #include <string>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define LL long long
 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
 #define g(i) (sum[i]+i-1-l)
 #define k(i) (sum[i]+i)
 #define y(i) (f[i]+sqr(k(i)))
 #define x(i) (2*k(i))
 #define sqr(x) ((x)*(x))
 using namespace std;
 const LL N = ;

 LL n, l, sum[N+];
 LL q[N+], head, tail;
 LL f[N+];

 int main(){
     scanf("%lld%lld", &n, &l);
     for (LL i = ; i <= n; i++){
     scanf("%lld", &sum[i]);
     sum[i] += sum[i-];
     }
     q[tail++] = ;
     for (LL i = ; i <= n; i++){
     while (head < tail-)
         if (g(i)*(x(q[head+])-x(q[head])) >= (y(q[head+])-y(q[head]))) head++;
         else break;
     f[i] = f[q[head]]+sqr(sum[i]-sum[q[head]]+i-q[head]--l);
     while (head < tail-)
         if ((y(q[tail-])-y(q[tail-]))*(x(i)-x(q[tail-])) >= (x(q[tail-])-x(q[tail-]))*(y(i)-y(q[tail-]))) tail--;
         else break;
     q[tail++] = i;
     }
     printf("%lld\n", f[n]);
     return ;
 }