【BZOJ】【1010】【HNOI2008】玩具装箱Toy

DP/斜率优化

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　　根据题目描述很容易列出动规方程：$$ f[i]=min\{ f[j]+(s[i]-s[j]+i-j-1-L)^2 \}$$

　　其中 $$s[i]=\sum_{k=1}^{i} c[k] $$

　　而$x$即为$s[i]-s[j]+i-j-1$

　　这个$x$的表示实在太不好看，我们容易发现$i-j$其实是可以跟$s[i]-s[j]$合到一起的，即令 $c[i]=c[i]+1$，则$s[i]=\sum_{k=1}^{i} (c[i]+1)=\sum_{k=1}^{i}c[i]+i $，所以$x=s[i]-s[j]-1$。再将那个$-1$与$L$合并，即$L=L+1$，然后我们就得到整理后的方程：$$ f[i]=min\{ f[j]+(s[i]-s[j]-L)^2 \} $$

　　证明决策单调性：$( j > k )$

\[ \begin{aligned} f[j]+(s[i]-s[j]-L)^2 &< f[k]+(s[i]-s[k]-L)^2 \\ f[j]-f[k]+(s[j]^2-s[k]^2) &< 2*(s[i]-L)*(s[j]-s[k]) \\ \frac{ f[j]-f[k]+(s[j]^2-s[k]^2) }{ 2*(s[j]-s[k]) } &< s[i]-L \end{aligned} \]

　　这里将 $s[i]-L$ 当作一个整体来计算

 /**************************************************************
     Problem: 1010
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:132 ms
     Memory:2640 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 1010
 #include<cmath>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 int getint(){
     int v=,sign=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*=sign;
 }
 const int N=;
 typedef long long LL;
 /******************tamplate*********************/
 LL c[N],s[N],f[N];
 int q[N],l,r;
 double slop(int k,int j){
     return double(f[j]+s[j]*s[j]-f[k]-s[k]*s[k])/
         double(*(s[j]-s[k]));
 }
 int main(){
     int n=getint(),L=getint()+;
     F(i,,n){
         c[i]=getint()+;
         s[i]=s[i-]+c[i];
     }
     F(i,,n){
         while(l<r && slop(q[l],q[l+])<s[i]-L) l++;
         int t=q[l];
         f[i]=f[t]+(s[i]-s[t]-L)*(s[i]-s[t]-L);
         while(l<r && slop(q[r-],q[r])>slop(q[r],i))r--;
         q[++r]=i;
     }
     printf("%lld\n",f[n]);
     return ;
 }

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

P
教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维
容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。
同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度
将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j
制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作
出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

HINT

Source

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