【LA3523 训练指南】圆桌骑士 【双连通分量】

题意

有n个骑士经常举行圆桌会议，商讨大事。每次圆桌会议至少应有3个骑士参加，且相互憎恨的骑士不能坐在圆桌旁的相邻位置。如果发生意见分歧，则需要举手表决，因此参加会议的骑士数目必须是奇数，以防赞同和反对票一样多。知道哪些骑士相互憎恨之后，你的任务是统计有多少个骑士不可能参加任何一个会议。

分析

建模：以骑士为结点建立无向图G。如果两个骑士可以相邻，那么就在他们之间连一条无向边，则题目转化为，求并不在任何一个奇圈上的点的个数。如果图G不连通，应对每个连通分量分别求解。

我们首先要找出图中所有的双连通分量（因为简单圈上所有的结点必属于一个双连通分量），然后判断每个连通分量是否含有奇圈。我们知道二分图不存在奇圈，所以我们对每个双连通分量进行二分染色进行判断就可以。

这里还有一个很重要的结论：如果结点v所属的某个双连通分量B不是二分图，那么v一定属于一个奇圈。训练指南上有这个证明

主算法：对于每个连通分量的双连通分量B，若他不是二分图，给B中的所有结点标记为“在奇圈上”。注意，由于每个割顶属于多个双连通分量，他可能会被标记多次，需要特殊处理一下。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <stack>
 #include <vector>

 using namespace std;
 const int maxn=+;
 const int maxm=+;
 int vis[maxn][maxn];
 int n,m,sz;
 int head[maxn],to[maxm],Next[maxm];
 struct Edge{
     int u,v;
 };
 void add_edge(int a,int b){
     ++sz;
     to[sz]=b;Next[sz]=head[a];head[a]=sz;
 }
 int pre[maxn],iscut[maxn],bccno[maxn],dfs_clock,bcc_cnt;
 vector<int>bcc[maxn];
 stack<Edge>S;
 int dfs(int u,int fa){
     int lowu=pre[u]=++dfs_clock;
     int child=;
     for(int i=head[u];i!=-;i=Next[i]){
         int v=to[i];
         Edge e=(Edge){u,v};
         if(!pre[v]){
             S.push(e);
             child++;
             int lowv=dfs(v,u);
             lowu=min(lowu,lowv);
             if(lowv>=pre[u]){
                 iscut[u]=;
                 bcc_cnt++;bcc[bcc_cnt].clear();
                 for(;;){
                     Edge x=S.top();S.pop();
                     if(bccno[x.u]!=bcc_cnt){
                         bcc[bcc_cnt].push_back(x.u);
                         bccno[x.u]=bcc_cnt;
                     }
                     if(bccno[x.v]!=bcc_cnt){
                         bcc[bcc_cnt].push_back(x.v);
                         bccno[x.v]=bcc_cnt;
                     }
                     if(x.u==u&&x.v==v)break;
                 }
             }
         }
         else if(pre[v]<pre[u]&&v!=fa){
             S.push(e);
             lowu=min(lowu,pre[v]);
         }
     }
     if(fa<&&child==)iscut[u]=;
     return lowu;
 }
 void find_bcc(int n){
     memset(pre,,sizeof(pre));
     memset(iscut,,sizeof(iscut));
     memset(bccno,,sizeof(bccno));
     dfs_clock=bcc_cnt=;
     for(int i=;i<=n;i++)
         if(!pre[i])dfs(i,-);
 }
 int color[maxn];
 bool bipartite(int u,int num){
     for(int i=head[u];i!=-;i=Next[i]){
         int v=to[i];
         if(bccno[v]!=num)continue;
         if(color[v]==color[u])return false;
         if(!color[v]){
             color[v]=-color[u];
             if(!bipartite(v,num))return false;
         }
     }
     return true;
 }
 int ANS[maxn];

 int main(){
     //freopen("out.txt","w",stdout);
     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n||m)){
         memset(vis,,sizeof(vis));
         int a,b;
         for(int i=;i<=m;i++){
             scanf("%d%d",&a,&b);
             vis[a][b]=vis[b][a]=;
         }
         sz=-;
         memset(head,-,sizeof(head));
         for(int i=;i<=n;i++){
             for(int j=;j<=n;j++){
                 if(i==j)continue;
                 if(!vis[i][j]){
                     add_edge(i,j);
                     vis[i][j]=;
                 }
                 if(!vis[j][i]){
                     add_edge(j,i);
                     vis[j][i]=;
                 }
             }
         }
         /*for(int i=1;i<=n;i++){
             printf("%d :",i);
             for(int j=head[i];j!=-1;j=Next[j]){
                 int v=to[j];
                 printf("%d ",v);
             }
             printf("\n");
         }*/

         find_bcc(n);
        /* for(int i=1;i<=n;i++){
             printf("%d %d\n",i,bccno[i]);
         }
         cout<<bcc_cnt<<endl;*/

         memset(ANS,,sizeof(ANS));
         for(int i=;i<=bcc_cnt;i++){
             for(int j=;j<bcc[i].size();j++){
                 if(iscut[bcc[i][j]]){
                     bccno[bcc[i][j]]=i;
                 }
             }
             memset(color,,sizeof(color));
             color[bcc[i][]]=;
             if(!bipartite(bcc[i][],i)){
                 for(int j=;j<bcc[i].size();j++){
                     int u=bcc[i][j];
                     ANS[u]=;
                 }
             }
         }
         int ans=;
         for(int i=;i<=n;i++)
             if(ANS[i])
              ans++;
         ans=n-ans;
         printf("%d\n",ans);
     }
 return ;
 }