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题目链接:UOJ34

正解:$NTT$

解题报告:

  $NTT$是用来解决需要取模的一类多项式乘法问题。

  如果要用$NTT$的话,对模数$p$是有要求的:模数要能写成$c*2^k+1$的形式,而且$2^k>n$;

  同时,模数必须要有原根,原根$g$满足的性质是:$g^1,g^2…g^{p-1}$是在模$p$意义下的一个$1$到$p-1$的一个排列。

  回忆一下$FFT$的步骤,中间需要用到单位复数根$w_n$来实现点值表示法,在这里可以直接用$g$的次幂来代替单位复数根,即令$g_n=w_n$,那么$g_n$$=$$g^{\frac{p-1}{n}}$。

  其余的做法与$FFT$完全类似。

  只是需要注意的是,$FFT$最后插值回去的时候,是取了个反,也就是加了个负号。

  把单位复数根画出来,不难发现,是对称的,取了负号之后其实也就是颠倒了顺序,所以$NTT$的最后需要$reverse$一下。

  注意$0$不用$reverse$,可以认为$0$就是对称轴所以无需考虑。

  常用$NTT$模数:

  $998244353$$=$$119*2^{23}+1$,原根为$3$;

  $1004535809$$=$$479*2^{21}+1$,原根为$3$。

  $4179340454199820288$$=$$29*2^{57}+1$,原根为$3$。

  模板保存:

//It is made by ljh2000
//有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴。
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <bitset>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 998244353;//119*2^23+1
const int MAXN = 300011;
const int G = 3;
int n,m,L,R[MAXN],a[MAXN],b[MAXN]; inline int getint(){
int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<'0'||c>'9') && c!='-') c=getchar();
if(c=='-') q=1,c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w;
} inline LL fast_pow(LL x,LL y){
LL r=1;
while(y>0) {
if(y&1) r*=x,r%=mod;
x*=x; x%=mod;
y>>=1;
}
return r;
} inline void NTT(int *a,int n,int f){
for(int i=0;i<n;i++) if(i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
for(int i=1;i<n;i<<=1) {
LL gn=fast_pow(G,(mod-1)/(i<<1)),x,t;
for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)) {
LL g=1;
for(int k=0;k<i;k++,g=1LL*g*gn%mod) {
x=a[j+k]; t=1LL*a[j+i+k]*g%mod;
a[j+k]=(x+t)%mod;
a[j+i+k]=(x-t+mod)%mod;
}
}
}
if(f==1) return ;
reverse(a+1,a+n); int ni=fast_pow(n,mod-2);
for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=1LL*a[i]*ni%mod;
} inline void work(){
n=getint(); m=getint();
for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=getint();
for(int i=0;i<=m;i++) b[i]=getint();
m+=n; for(n=1;n<=m;n<<=1) L++;
for(int i=0;i<n;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1) | ((i&1) << (L-1));
NTT(a,n,1); NTT(b,n,1);
for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;
NTT(a,n,-1);
for(int i=0;i<=m;i++) printf("%d ",a[i]);
} int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("NTT.in","r",stdin);
freopen("NTT.out","w",stdout);
#endif
work();
return 0;
}
//有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴。

  

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