BZOJ1025 [SCOI2009]游戏 【置换群 + 背包dp】

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BZOJ1025

题解

题意就是问一个\(1....n\)的排列在同一个置换不断重复下回到\(1...n\)可能需要的次数的个数

和置换群也没太大关系

我们只需知道同一个置换不断重复，实际上就是每个循环节的元素不断在循环节上旋转，所需次数就是所有循环节长度的\(lcm\)

这一点很显然

而循环节数量是任意的，长度也可以是任意的，但总和一定是\(n\)

问题就转化为了有多少个数\(x\)能为总和为\(n\)的一些数的\(lcm\)

如果令\(x = \prod\limits_{i = 1} p_i^{k_i}\)

若\(\sum\limits_{i = 1} p_i^{k_i} \le n\)，那么\(x\)显然是可以被凑出来的

我们只需令每一个\(p_i^{k_i}\)作为一个数，再补上一些\(1\)使得它们总和为\(n\)，那么它们就是一个合法的\(lcm\)为\(x\)的方案

问题就转化为了用\(\le n\)的一些质数\(p_i^{k_i}\)凑出\(\le n\)的数的方案数

显然就是一个分组背包问题

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define mp(a,b) make_pair<int,int>(a,b)
#define cls(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define cp pair<int,int>
#define LL long long int
using namespace std;
const int maxn = 1005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
inline int read(){
	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
	return out * flag;
}
LL f[maxn],ans;
int n,p[maxn],pi,isn[maxn];
void init(){
	for (int i = 2; i <= n; i++){
		if (!isn[i]) p[++pi] = i;
		for (int j = 1; j <= pi && i * p[j] <= n; j++){
			isn[i * p[j]] = true;
			if (i % p[j] == 0) break;
		}
	}
}
int main(){
	n = read();
	init();
	f[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= pi; i++){
		for (int j = n; j >= 0; j--){
			for (int k = p[i]; k <= j; k *= p[i])
				f[j] += f[j - k];
		}
	}
	for (int i = 0; i <= n; i++) ans += f[i];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}