bzoj 4501: 旅行 01分数规划+概率期望dp

题目大意:

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4501

题解:

首先我们不考虑可以删除边的情况下,如何计算期望边数.

然后我们发现这是个有向无环图

所以直接\(f[u] = \sum\frac{f[v] + 1}{deg_u}\)直接计算即可

然后我们考虑如果允许删除边

注意这句话

保证对于每个限制(x,y)，第x条边和第y条边的起点是相同的

所以可以分别考虑每次转移

这时候我们考虑如何决策才能最优化\(f[u]\)

即最优化\(\sum\frac{f[v] + 1}{deg_u}\)

将式子变形:\(\frac{\sum(f[v] + 1)x_i}{\sum x_i}\)

我们发现这是一个分式,所以可以利用01分数规划来最大化取值

所以我们有\(f(L) = \sum d_ix_i > 0\)时存在更优值,\(d_i = (f_i + 1) - L\)

所以利用01分数规划,问题转化成了最大化\(\sum d_ix_i\)

这个问题可以转化为一个最小割模型(最大权闭合子图),跑网络流即可.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline void read(int &x){
    x=0;char ch;bool flag = false;
    while(ch=getchar(),ch<'!');if(ch == '-') ch=getchar(),flag = true;
    while(x=10*x+ch-'0',ch=getchar(),ch>'!');if(flag) x=-x;
}
const int maxm = 512;
const int maxk = 2048;
const double eps = 1e-6;
const double inf = 1e8;
namespace net{
    struct Edge{
        int to,next;
        double cap;
    }G[(maxk<<1) + (maxm<<1) + 1010];
    int head[(maxm<<1) + 100],cnt = 1;
    void add(int u,int v,double d){
        G[++cnt].to = v;
        G[cnt].next = head[u];
        head[u] = cnt;
        G[cnt].cap = d;
    }
    inline void insert(int u,int v,double d){
        add(u,v,d);add(v,u,0);
    }
#define v G[i].to
    int q[(maxm<<1) + 100],l,r;
    int dis[(maxm<<1) + 100],S,T;
    bool bfs(){
        memset(dis,-1,sizeof dis);
        l = 0;r = -1;q[++r] = S;
        dis[S] = 0;
        while(l <= r){
            int u = q[l++];
            for(int i = head[u];i;i=G[i].next){
                if(dis[v] == -1 && G[i].cap > eps){
                    dis[v] = dis[u] + 1;
                    q[++r] = v;
                }
            }
        }
        return dis[T] != -1;
    }
    double dfs(int u,double f){
        if(u == T || f < eps) return f;
        double ret = 0;
        for(int i = head[u];i;i=G[i].next){
            if(dis[v] == dis[u] + 1 && G[i].cap > eps){
                double x = dfs(v,min(G[i].cap,f));
                ret += x;f -= x;
                G[i].cap -= x;
                G[i^1].cap += x;
                if(f < eps) break;
            }
        }
        return ret;
    }
#undef v
    void clear(){
        memset(head,0,sizeof head);cnt = 1;
        S = (maxm<<1) - 5;T = S + 1;
    }
    double main(){
        double ret = 0;
        while(bfs()){
            ret += dfs(S,inf);
        }return ret;
    }
}
namespace dp0{
    struct Edge{
        int to,next;
    }G[maxm<<1],lim[maxk<<1];
    int head[maxm],edli[maxm<<1];
    int cnt,ct;
    void add_ed(int u,int v){
        G[++cnt].to = v;
        G[cnt].next = head[u];
        head[u] = cnt;
    }
    void add_li(int u,int v){
        lim[++ct].to = v;
        lim[ct].next = edli[u];
        edli[u] = ct;
    }
    double d[maxm],f[maxm];
    inline bool check(int u,double mid,int fa){
        net::clear();
        double total = .0;
        for(int i = head[u];i;i=G[i].next){
            if(G[i].to == fa) continue;
            d[i] = f[G[i].to] - mid + 1;
            if(d[i] > eps){
                total += d[i];
                net::insert(i,net::T,d[i]);
            }else if(d[i] < -eps){
                net::insert(net::S,i,-d[i]);
            }
            for(int v = edli[i];v;v=lim[v].next){
                net::insert(i,lim[v].to,inf);
            }
        }
        total -= net::main();
        return total > eps;
    }
    inline double work(int u,int fa){
        double l = .0,r = inf;
        while(r-l > eps){
            double mid = (l+r)/2.0;
            if(check(u,mid,fa)) l = mid;
            else r = mid;
        }return l;
    }
#define v G[i].to
    void dfs(int u,int fa){
        if(head[u] == 0) return;
        if(f[u] > eps) return;
        f[u] = .0;
        for(int i = head[u];i;i = G[i].next){
            if(v == fa) continue;
            dfs(v,u);
        }
        f[u] = work(u,fa);
        return ;
    }
#undef v
    int main(){
        int n,m,k;read(n);read(m);read(k);
        for(int i=1,u,v;i<=m;++i){
            read(u);read(v);
            add_ed(u,v);
        }
        for(int i=1,u,v;i<=k;++i){
            read(u);read(v);
            add_li(v,u);
        }
        dfs(1,0);
        printf("%.12lf\n",f[1]);
        return 0;
    }
}
int main(){
    dp0::main();
    getchar();getchar();
    return 0;
}