HDU5780 gcd 欧拉函数

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5780

BC #85 1005

思路：

首先原式化简：x​^gcd(a,b)​​−1

也就是求n内，(公约数是i的对数)*x^i-1的和，其中i为n内的两两最大公约数。那么问题可以转化成先预处理出i，再求和，注意O(n*300)=1,正常情况会卡常数。必须还要优化

由于 ans=∑s[d]∗(x^​d​​−1)，记s[d]=最大公约数为d的对数

我们注意到求s[d] or (公约数是i的对数)，也就是求n/i以内互质数的对数，显然用欧拉来做

s[d]=2*(phi[1]+phi[2]+...+phi[n/d])-1

注意到：d不同，但是n/d一样，也就是s[d]可能有多个相同，比如 10/6 10/7 10/8 10/9 10/10，所以求s[d]相同的项，我们可以用等比公式求和(快速幂+逆元 新知识)

所以我们只要找到每一段s[d]就可以 即 j=n/(n/i)，j为最后一个相同s[d]的下标

 // #pragma comment(linker, "/STACK:102c000000,102c000000")
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 using namespace std;
 #define pi acos(-1.0)
 const int N = 1e6+;
 const int MOD = 1e9+;
 #define inf 0x7fffffff
 typedef long long  LL;

 void fre() { freopen("in.txt","r",stdin);}
 inline int read(){int x=,f=;char ch=getchar();while(ch>''||ch<'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}while(ch>=''&&ch<='') { x=x*+ch-'';ch=getchar();}return x*f;}

 LL pow_m(LL x,LL n)
 {
     LL res=;
     while(n>)
     {
         if(n & )
             res=(res*x)%MOD;
         x=(x*x)%MOD;
         n >>= ;
     }
     return res;
 }

 int prime[N],sphi[N];
 int inv[N];
 void e_fun(){
     sphi[]=;
     for(int i=;i<=N;i++){
         if(!sphi[i]){
             prime[++prime[]]=i;
             sphi[i]=i-;
         }
         for(int j=;j<=prime[]&&i*prime[j]<=N;j++){
             if(i%prime[j]) sphi[i*prime[j]]=sphi[i]*(prime[j]-);
             else sphi[i*prime[j]]=sphi[i]*prime[j];
         }
     }
     for(int i=;i<=N;i++) sphi[i]=(sphi[i-]+sphi[i])%MOD;

     //打表求逆元
     // inv[1] = inv[0] = 1;
     // for(int i = 2;i < N;i++)
     // inv[i] = inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
 }

 void ex_gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y) {
     if (!b) {
         d = a;
         x = ;
         y = ;
     }
     else {
         ex_gcd(b, a%b, d, y, x);
         y -= x*(a/b);
     }
     // return x;
 }

 LL sn(LL q,LL n){
     if(q==) return n;
     LL x,y,d;
     ex_gcd(q-,MOD,d,x,y);
     return (pow_m(q,n)-)*((x+MOD)%MOD)%MOD;
 }

 int main(){
     e_fun();
     int T;
     T=read();
     while(T--){
         int x,n;
         x=read(),n=read();
         LL ans=;
         for(int i=,j;i<=n;i=j+){
             j=n/(n/i);
             LL sd=*sphi[n/i]-;
             ans=(ans + sd*(pow_m(x,i)*sn(x,j-i+)%MOD -(j-i+))%MOD) % MOD;
         }
         printf("%I64d\n",ans);
     }
     return ;
 }