POJ 1681 Painter's Problem （高斯消元 枚举自由变元求最小的步数）

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题意：

一个n*n 的木板 ，每个格子 都 可以 染成 白色和黄色，（ 一旦我们对也个格子染色 ，他的上下左右 都将改变颜色）；

给定一个初始状态 ， 求将 所有的 格子 染成黄色 最少需要染几次？  若 不能 染成 输出 inf。

分析：

和1222差不多，唯一的区别是这个题还要求 最短的步数，其实只需要枚举一下最后的x[][]是否为1，即是否需要按下，

由于只有无解或者解唯一，因为按的顺序是没有影响的，所以只要是有解一定唯一，而且最短的情况是每个格子只按一次，

因为按两次以后就变为原来的状态了。

这个是最严谨的这个题的AC代码，因为我做1753的时候用原来的方法错了，看了Kuangbin的博客，知道原来的方法不对，貌似只有一个解和无解的时候才会对。

但是这个是对的：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #define LL __int64
 const int maxn = +;
 const int INF = <<;
 using namespace std;
 int equ, var, fn;
 int a[maxn][maxn], x[maxn];
 int free_x[maxn];
 int gcd(int a, int b)
 {
     return b==?a:gcd(b, a%b);
 }
 int lcm(int a, int b)
 {
     return a*b/gcd(a, b);
 }
 int Gauss()
 {
     int x_mo;
     x_mo = ;
     int i, j, k, max_r, col;
     int ta, tb, LCM, fx_num = ;
     col = ;

     for(k = ; k<equ && col<var; k++, col++)
     {
         max_r = k;
         for(i = k+; i < equ; i++)
             if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
             max_r = i;

         if(max_r != k)
             for(j = k; j < var+; j++)
             swap(a[k][j], a[max_r][j]);

         if(a[k][col]==)
         {
             free_x[fx_num++] = col; //求自由变元所在的列
             k--;
             continue;
         }
         for(i = k+; i < equ; i++)
         {
             if(a[i][col] != )
             {
                 LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
                 ta = LCM/abs(a[i][col]);
                 tb= LCM/abs(a[k][col]);
                 if(a[i][col]*a[k][col] < ) tb = -tb;

                 for(j = col; j < var+; j++)
                 a[i][j] = ((a[i][j]*ta - a[k][j]*tb)%x_mo+x_mo)%x_mo;
             }
         }
     }
     for(i = k; i < equ; i++)
     if(a[i][col] != )
     return -;

     //以下为模2情况下的，枚举变元的方法。
     int stat=<<(var-k);//自由变元有 var-k 个
     int res=INF;
     for(i=;i<stat;i++)//枚举所有变元
     {
         int cnt=;
         int index=i;
         for(j=;j<var-k;j++)
         {
             x[free_x[j]]=(index&);
             if(x[free_x[j]]) cnt++;
             index>>=;
         }
         for(j=k-;j>=;j--)
         {
             int tmp=a[j][var];
             for(int l=j+;l<var;l++)
               if(a[j][l]) tmp^=x[l];
             x[j]=tmp;
             if(x[j])cnt++;
         }
         if(cnt<res)res=cnt;
     }
     return res;
 }

 int main()
 {
     int t, i, j, n, tmp;
     char s[maxn];
     scanf("%d", &t);
     while(t--)
     {
         memset(a, , sizeof(a));
         memset(x, , sizeof(x));
         scanf("%d", &n);
         equ = n*n;
         var = n*n;
         for(i = ; i < n; i++)
         {
             getchar();
             scanf("%s", s);
             for(j = ; j < n; j++)
             {
                 if(s[j]=='y') a[i*n+j][n*n] = ; //y时为0
                 else a[i*n+j][n*n] = ;
             }
         }
         for(i = ; i < n; i++)
         for(j = ; j < n; j++)
         {
             tmp = i*n+j;
             a[tmp][tmp] = ;
             if(j<=n-)
             a[tmp+][tmp] = ;
             if(j>=)
             a[tmp-][tmp] = ;
             if(tmp+n<n*n)
             a[tmp+n][tmp] = ;
             if(tmp-n>=)
             a[tmp-n][tmp] = ;
         }
         fn = Gauss();
         if(fn==-)
         printf("inf\n");
         else
         printf("%d\n", fn);
     }
     return ;
 }

这个AC代码是我按照模板改的，但是在多解的情况下不对：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #define LL __int64
 const int maxn = +;
 using namespace std;
 int equ, var, fn;
 int a[maxn][maxn], x[maxn];
 int gcd(int a, int b)
 {
     return b==?a:gcd(b, a%b);
 }
 int lcm(int a, int b)
 {
     return a*b/gcd(a, b);
 }
 int Gauss()
 {
     int x_mo;
     x_mo = ;
     int i, j, k, max_r, col;
     int ta, tb, LCM, tmp;
     col = ;

     for(k = ; k<equ && col<var; k++, col++)
     {
         max_r = k;
         for(i = k+; i < equ; i++)
             if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
             max_r = i;

         if(max_r != k)
             for(j = k; j < var+; j++)
             swap(a[k][j], a[max_r][j]);

         if(a[k][col]==)
         {
             k--;
             continue;
         }
         for(i = k+; i < equ; i++)
         {
             if(a[i][col] != )
             {
                 LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
                 ta = LCM/abs(a[i][col]);
                 tb= LCM/abs(a[k][col]);
                 if(a[i][col]*a[k][col] < ) tb = -tb;

                 for(j = col; j < var+; j++)
                 a[i][j] = ((a[i][j]*ta - a[k][j]*tb)%x_mo+x_mo)%x_mo;
             }
         }
     }
     for(i = k; i < equ; i++)
     if(a[i][col] != )
     return -;

     for(i = var-; i >= ; i--)
     {
         tmp = a[i][var];
         for(j = i+; j < var; j++)
         if(a[i][j] != )
         tmp = ((tmp-a[i][j]*x[j])%x_mo+x_mo)%x_mo;
         if(a[i][i]==)  //注意这a[i][i]可能为0， 我改为这样就对了。
         x[i] = ;
         else
         {
             while(tmp%a[i][i]!=) tmp += x_mo;
             x[i] = (tmp/a[i][i])%x_mo;
         }
     }
     return ;
 }

 int main()
 {
     int t, i, j, n, ans, tmp;
     char s[maxn];
     scanf("%d", &t);
     while(t--)
     {
         memset(a, , sizeof(a));
         memset(x, , sizeof(x));
         scanf("%d", &n);
         equ = n*n;
         var = n*n;
         for(i = ; i < n; i++)
         {
             getchar();
             scanf("%s", s);
             for(j = ; j < n; j++)
             {
                 if(s[j]=='y') a[i*n+j][n*n] = ; //y时为0
                 else a[i*n+j][n*n] = ;
             }
         }
         for(i = ; i < n; i++)
         for(j = ; j < n; j++)
         {
             tmp = i*n+j;
             a[tmp][tmp] = ;
             if(j<=n-)
             a[tmp+][tmp] = ;
             if(j>=)
             a[tmp-][tmp] = ;
             if(tmp+n<n*n)
             a[tmp+n][tmp] = ;
             if(tmp-n>=)
             a[tmp-n][tmp] = ;
         }
         fn = Gauss();
         if(fn==-)
         printf("inf\n");
         else
         {
             ans = ;
             for(i = ; i < n*n; i++)
             if(x[i]==)  //枚举解为1，就是需要将原来的翻转的。
             ans ++;
             printf("%d\n", ans);
         }
     }
     return ;
 }

这个AC代码的模板用的是别人的对二取模的模板，用的是 ^异或，不会出现除0的情况。在多解的情况下也不对。。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #define LL __int64
 const int maxn = +;
 using namespace std;
 int equ, var, fn;
 int a[maxn][maxn], x[maxn];
 int gcd(int a, int b)
 {
     return b==?a:gcd(b, a%b);
 }
 int lcm(int a, int b)
 {
     return a*b/gcd(a, b);
 }
 int  Gauss()
 {
     int i,j,k;
     int max_r;
     int col;
     int temp;

     int free_x_num;
     int free_index;

     col=;
     for(k=;k<equ&&col<var;k++,col++)
     {
         max_r=k;
         for(i=k+;i<equ;i++)
         {
             if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))max_r=i;
         }
         if(max_r!=k)
         {
             for(j=col;j<var+;j++)swap(a[k][j],a[max_r][j]);
         }
         if(a[k][col]==)
         {
             k--;
             continue;
         }
         for(i=k+;i<equ;i++)
         {
             if(a[i][col]!=)
             {
                 for(j=col;j<var+;j++)
                   a[i][j]^=a[k][j];
             }
         }
     }
     for(i=k;i<equ;i++)
     {
         if(a[i][col]!=)return -;
     }
     for(i=var-;i>=;i--)
     {
         x[i]=a[i][var];
         for(j=i+;j<var;j++)
           x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);
     }
     return ;
 }

 int main()
 {
     int t, i, j, n, ans, tmp;
     char s[maxn];
     scanf("%d", &t);
     while(t--)
     {
         memset(a, , sizeof(a));
         memset(x, , sizeof(x));
         scanf("%d", &n);
         equ = n*n;
         var = n*n;
         for(i = ; i < n; i++)
         {
             getchar();
             scanf("%s", s);
             for(j = ; j < n; j++)
             {
                 if(s[j]=='y') a[i*n+j][n*n] = ;
                 else a[i*n+j][n*n] = ;
             }
         }
         for(i = ; i < n; i++)
         for(j = ; j < n; j++)
         {
             tmp = i*n+j;
             a[tmp][tmp] = ;
             if(j<=n-)
             a[tmp+][tmp] = ;
             if(j>=)
             a[tmp-][tmp] = ;
             if(tmp+n<n*n)
             a[tmp+n][tmp] = ;
             if(tmp-n>=)
             a[tmp-n][tmp] = ;
         }
         fn = Gauss();
         if(fn==-)
         printf("inf\n");
         else
         {
             ans = ;
             for(i = ; i < n*n; i++)
             if(x[i]==)
             ans ++;
             printf("%d\n", ans);
         }
     }
     return ;
 }