bzoj 1975 [Sdoi2010]魔法猪学院（k短路）

题目描述

iPig在假期来到了传说中的魔法猪学院，开始为期两个月的魔法猪训练。经过了一周理论知识和一周基本魔法的学习之后，iPig对猪世界的世界本原有了很多的了解：众所周知，世界是由元素构成的；元素与元素之间可以互相转换；能量守恒……。

能量守恒……iPig 今天就在进行一个麻烦的测验。iPig 在之前的学习中已经知道了很多种元素，并学会了可以转化这些元素的魔法，每种魔法需要消耗 iPig 一定的能量。作为 PKU 的顶尖学猪，让 iPig 用最少的能量完成从一种元素转换到另一种元素……等等，iPig 的魔法导猪可没这么笨！这一次，他给 iPig 带来了很多 1 号元素的样本，要求 iPig 使用学习过的魔法将它们一个个转化为 N 号元素，为了增加难度，要求每份样本的转换过程都不相同。这个看似困难的任务实际上对 iPig 并没有挑战性，因为，他有坚实的后盾……现在的你呀！

注意，两个元素之间的转化可能有多种魔法，转化是单向的。转化的过程中，可以转化到一个元素（包括开始元素）多次，但是一但转化到目标元素，则一份样本的转化过程结束。iPig 的总能量是有限的，所以最多能够转换的样本数一定是一个有限数。具体请参看样例。

输入格式(magic.in)

第一行三个数 N、M、E 表示iPig知道的元素个数（元素从 1 到 N 编号）、iPig已经学会的魔法个数和iPig的总能量。

后跟 M 行每行三个数 s_i、t_i、e_i 表示 iPig 知道一种魔法，消耗 e_i 的能量将元素 s_i 变换到元素 t_i 。

输出格式(magic.out)

一行一个数，表示最多可以完成的方式数。输入数据保证至少可以完成一种方式。

样例输入

4 6 14.9

1 2 1.5

2 1 1.5

1 3 3

2 3 1.5

3 4 1.5

1 4 1.5

样例输出

3

样例解释

有意义的转换方式共4种：

1->4，消耗能量 1.5

1->2->1->4，消耗能量 4.5

1->3->4，消耗能量 4.5

1->2->3->4，消耗能量 4.5

显然最多只能完成其中的3种转换方式（选第一种方式，后三种方式仍选两个），即最多可以转换3份样本。

如果将 E=14.9 改为 E=15，则可以完成以上全部方式，答案变为 4。

数据规模

占总分不小于 10% 的数据满足 N <= 6，M<=15。

占总分不小于 20% 的数据满足 N <= 100，M<=300，E<=100且E和所有的e_i均为整数（可以直接作为整型数字读入）。

所有数据满足 2 <= N <= 5000，1 <= M <= 200000，1<=E<=10⁷，1<=e_i<=E，E和所有的e_i为实数。

【思路】

A*算法解k短路

启发式函数f(n)=g(n)+h(n)

g是到达当前状态的实际代价，h是估计代价。当h取得比较小的时候，能保证正确性但时间比较慢，当h取得比较大的时候，速度快但正确不能保证。

一个暴力算法是将到目前为止的距离放入堆里，然后第k次拓展到n求出k短路。这里可以看作h为0 ，前边说了，比较慢。

这里取每个点到n的最短路为估计代价h。

把启发函数放到一个堆里，每次拿出队首拓展求出启发函数后再放入堆里。第k次拓展到n时，就得到了1..n的k短路。

这样只要不断求k短路直到把e用完。

据说STL会MLE，我没试过<_<，手写一个heap

【代码】

 #include<cstdio>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #include<cstring>
 using namespace std;

 const int N = ;
 const double INF = 1e9;

 struct Edge { int v; double w;
 };
 struct Node {
     double f; int id;
     bool operator < (const Node& rhs) const{
         return f<rhs.f;
     }
 };
 struct Heap {
     int sz,now,next; Node ans;
     Node N[];
     Heap() { sz=; }
     int empty() { return sz<=; }
     void push(Node x) {
         N[++sz]=x;
         now=sz;
         while(now>) {
             next=now>>;
             if(N[next]<N[now]) break;
             swap(N[next],N[now]);
             now=next;
         }
     }
     Node pop() {
         ans=N[];
         N[]=N[sz--];
         now=;
         while((now<<)<=sz) {
             next=now<<;
             if(next<sz && N[next+]<N[next]) next++;
             if(N[now]<N[next]) break;
             swap(N[now],N[next]);
             now=next;
         }
         return ans;
     }
 }hp;

 vector<Edge> g[N],G[N];
 queue<int> q;

 int n,m,ans;
 int inq[N]; double e,dis[N];

 void spfa() {
     for(int i=;i<=n;i++) dis[i]=INF;
     dis[n]=; inq[n]=; q.push(n);
     while(!q.empty()) {
         int u=q.front(); q.pop();
         inq[u]=;
         for(int i=;i<G[u].size();i++) {
             int v=G[u][i].v;
             if(dis[v]>dis[u]+G[u][i].w) {
                 dis[v]=dis[u]+G[u][i].w;
                 if(!inq[v])
                     inq[v]=,
                     q.push(v);
             }
         }
     }
 }

 void astar() {
     hp.push((Node){dis[],});
     while(!hp.empty()) {
         Node qr=hp.pop(); int u=qr.id;
         for(int i=;i<g[u].size();i++) {
             int v=g[u][i].v;
             hp.push((Node){qr.f-dis[u]+g[u][i].w+dis[v],v});
         }
         if(u==n) {
             e-=qr.f;
             if(e<) break;
             else ans++;
         }
     }
 }

 int main() {
     scanf("%d%d%lf",&n,&m,&e);
     int u,v; double w;
     for(int i=;i<m;i++) {
         scanf("%d%d%lf",&u,&v,&w);
         g[u].push_back((Edge){v,w});
         G[v].push_back((Edge){u,w});
     }
     spfa();
     astar();
     printf("%d",ans);
     return ;
 }