bzoj 1228 [SDOI2009]E&D SG函数打表 找规律

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Description

桌子上有2n 堆石子，编号为1..2n。将第2k-1 堆与第2k 堆（1 ≤ k ≤ n）为同一组。第i堆的石子个数用一个正整数Si表示。一次分割操作指的是，从桌子上任取一堆石子，将其移走。然后分割它同一组的另一堆石子，从中取出若干个石子放在被移走的位置，组成新的一堆。操作完成后，所有堆的石子数必须保证大于0。显然，被分割的一堆的石子数至少要为2。两个人轮流进行分割操作。如果轮到某人进行操作时，所有堆的石子数均为1，则此时没有石子可以操作，判此人输掉比赛。

例如，假设初始时桌子上有4 堆石子，数量分别为1,2,3,1。小E可以选择移走第1堆，然后将第2堆分割（只能分出1 个石子）。接下来，小W 只能选择移走第4 堆，然后将第3 堆分割为1 和2。最后轮到小E，他只能移走后两堆中数量为1 的一堆，将另一堆分割为1 和1。这样，轮到小W 时，所有堆的数量均为1，则他输掉了比赛。故小E 存在必胜策略。

Input

的第一行是一个正整数T（T ≤ 20），表示测试数据数量。接下来有T组数据。对于每组数据，第一行是一个正整数N，表示桌子上共有N堆石子。其中，输入数据保证N是偶数。第二行有N个正整数S1..SN，分别表示每一堆的石子数。

Output

包含T 行。对于每组数据，如果小E 必胜，则输出一行”YES”，否则输出”NO”。

Sample Input

2
4
1 2 3 1
6
1 1 1 1 1 1

Sample Output

YES
NO

思路

\((x,y)\)可以从\((1,x-1),(2,x-2),...,(x-1,1),(1,y-1),(2,y-2),...,(y-1,1)\)转移而来

据此打个\(SG\)函数的表，然后找规律

前20行20列如下表

0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 0 4 0 1 0 2
1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 2 2
0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 2 0 4 0 4 0 2 0 2
2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2
0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 4 0 1 0 4 0 1 0 3
1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 3 3
0 3 0 3 0 3 0 3 0 4 0 4 0 4 0 4 0 3 0 3
3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3
0 1 0 2 0 1 0 4 0 1 0 2 0 1 0 4 0 1 0 2
1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 2 2
0 2 0 2 0 4 0 4 0 2 0 2 0 4 0 4 0 2 0 2
2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2
0 1 0 4 0 1 0 4 0 1 0 4 0 1 0 4 0 1 0 5
1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 5 5
0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 5 0 5
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5
0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 0 5 0 1 0 2
1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 5 5 1 1 2 2
0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 2 0 5 0 5 0 2 0 2
2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 

发现$$sg[i][j]=k\rightarrow (i-1)%2^{k+1}\lt2k,(j-1)%2^{k+1}\lt2k$$

于是算\(sg\)值可以直接从小往大枚举幂次\(k\)，符合条件就停。

时间复杂度\(O(1)\).

// 着实要锻炼眼力啊

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 20
#define maxk 33
using namespace std;
typedef long long LL;
int sg[maxn+10][maxn+10];
bool vis[maxn+10];
void work() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    n >>= 1;
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        LL x, y;
        scanf("%lld%lld", &x, &y);
        --x; --y;
        LL modd = 2, ans = 0;
        for (int k = 0; k <= maxk; ++k) {
            if (x % modd < (modd>>1) && y % modd < (modd>>1)) break;
            modd <<= 1; ++ans;
        }
        res ^= ans;
    }
    puts(res ? "YES" : "NO");
}
void init() {
    sg[1][1] = 0;
    for (int i = 1; i <= maxn; ++i) {
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            if (i==1&&j==1) continue;
            memset(vis, 0, sizeof vis);
            for (int k = 1; k < i; ++k) vis[sg[k][i-k]] = true;
            for (int k = 1; k < j; ++k) vis[sg[k][j-k]] = true;
            for (int k = 0; k <= maxn; ++k) if (!vis[k]) { sg[i][j] = sg[j][i] = k; break; }
        }
    }
//    for (int i = 1; i <= maxn; ++i) {
//        for (int j = 1; j <= maxn; ++j) printf("%d ", sg[i][j]); putchar('\n');
//    }
}
int main() {
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
//    init();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) work();
    return 0;
}