【题解】CJOI2019 登峰造鸡境 (Prufer序列+斯特林数)

题目背景
  舒服了。
题目描述

你有一颗n个点的无根树，每个点有有一个标号(1~n)。
现在你知道，总共有m个叶子节点，求不同的树的形态方案数。
答案对$10^9+7$取模。

下面是一些可能有用的定义：
叶子：度数为1的点。
不同：若对于两颗标号相同的树$T1=(V,E_1),T2=(V,E_2)$，$T1\neq T2$当且仅当存在$(u,v) \in E_1 ,(u,v) \notin E_2$

输入格式

一共一行，第一行包含两个数n,m分别表示点的总个数和叶子数。
数据保证树一定存在。

输出格式

一行一个整数，输出答案对$10^9+7$取模的结果。

输入样例1
5 3
输出样例1
60
子任务

对于$10\%$的数据，保证$n,m<=5$
对于$20\%$的数据，保证$n,m<=10$
对于$40\%$的数据，保证$n,m<=20$
对于$60\%$的数据，保证$n,m<=5000$
对于另外$10\%$的数据,保证$m=2$
对于另外$10\%$的数据，保证$m=n-1$
对于另外$10\%$的数据，保证$m>=n-5$
对于$100\%$的数据，保证$n,m<=2\times 10^5$

$Solution$

树的计数问题先通过一一对应转换为Prufer序列，再根据Prufer序列和第二类斯特林数求解。

Prufer序列

假设得到一颗有标号的树$T$，我们通过这样的操作可以得到一个序列，这个序列和它对应的树是一一对应的。也就是说，任何两个不同的合法的Prufer序列都会对应出不同的两颗树。注意到这里的树是带编号的。

在树中，选取一个编号最小的叶子节点，将它的父亲节点加入Prufer序列，并且将这个叶子节点删去。

直到只剩下两个节点为止(只有一条边没有确定了)，此时已经可以确定整个树的形态了。

那么得到了一个个数是$n-2$个的序列，这个序列和树的形态一一对应。那么这$n-2$个元素的序列可以构成
\[
n^{n-2}
\]
种组合。

根据一一对应法则，也就是说有n个不带标号节点的树总共有$n^{n-2}$种组合。

我们看一下这个序列的意义，一个节点在Prufer序列里出现的次数就是它的度数-1。那么现在问题就变成了，我要保证$m$个节点在Prufer序列里不出现。

第二类斯特林数

$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}$表示$n$个元素划分为$m$个非空集合的方案数。

这里蕴藏的信息是：元素有区别，集合无区别。

递推公式

\[
{n \brace m}={n-1 \brace m-1}+m{n-1 \brace m}
\]

证明：见yyb博客。

容斥$O(n)$或者NTT$O(n\log n)$(求一列)

\[
S_2(n,m)=\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac 1 {m!} \sum_{i=0}^m (-1)^i{(m-i)^n}{m\choose i}
\]

证明：见yyb博客。

最后的答案
\[
(n-m)!\times{n\choose m}\times{n-2\brace n-m}
\]
因为斯特林数最后的盒子(集合)没有区别，然而我们这里是有区别的，所以应该乘上$(n-m)!$补回来。

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;  typedef long long ll;
inline int qr(){
      register int ret=0,f=0;
      register char c=getchar();
      while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
      while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
      return f?-ret:ret;
}
const int mod=1e9+7;
const int maxn=2e5+5;
int jc[maxn];
int inv[maxn];
int n,m,ans,k;

typedef const int& ct;
inline int ksm(int base,ct p){
      register int ret=1;
      for(register int t=p;t;t>>=1,base=1ll*base*base%mod)
        if(t&1) ret=1ll*ret*base%mod;
      return ret;
}

int C(int n,int m){
      if(n<m) return 0;
      return 1ll*jc[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}

int S(ct n,ct m){
      register int ret=0;
      for(register int t=0;t<=m;++t)
        if(t&1) ret=(0ll+ret-1ll*ksm(m-t,n)*C(m,t)%mod+mod)%mod;
        else ret=(0ll+ret+1ll*ksm(m-t,n)*C(m,t)%mod+mod)%mod;
      return 1ll*ret*inv[m]%mod;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("dfzjj.in","r",stdin);
      freopen("dfzjj.out","w",stdout);
#endif
      jc[0]=1;
      inv[0]=1;
      for(register int t=1;t<maxn;++t) jc[t]=1ll*jc[t-1]*t%mod,inv[t]=1ll*inv[t-1]*ksm(t,mod-2LL)%mod;
      n=qr();m=qr();
      ans=1ll*jc[n-m]*C(n,m)%mod*S(n-2,n-m)%mod;
      printf("%d\n",ans);
      return 0;
}