prufer序列学习笔记

prufer序列是一个定义在无根树上的东西。

构造方法是：每次选一个编号最小的叶子结点，把他的父亲的编号加入到序列的最后。然后删掉这个叶节点。直到最后只剩下两个节点，此时得到的序列就是prufer序列。

这个构造可以用优先队列做到 $O(n\log n)$。

至于如何用prufer序列反推出树，我还有点没看懂怎么 $O(n\log n)$，以后看懂了再来填坑吧。

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prufer序列的一些性质：

1. 一棵 $n$ 个点的无根树prufer序列长度为 $n-2$。
2. 无根树和prufer序列一一对应，一个无根树唯一对应一个prufer序列，一个prufer序列唯一对应一个无根树。
3. 一个在树中度数为 $d$ 的点在prufer序列中出现了恰好 $d-1$ 次。

那么就能推出一些常用结论：

1. $n$ 个点的无根树（带标号）有 $n^{n-2}$ 棵。（prufer序列长度为 $n-2$，每个位置都可以随便选 $1$ 到 $n$ 的数）
2. $n$ 个点的度数为 $d_1,d_2\cdots,d_n$ 的无根树个数为 $\dfrac{(n-2)!}{\prod(d_i-1)!}$。因为 $i$ 在prufer序列中会出现 $d_i-1$ 次，最后计算出来就是这个式子。

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一些例题：

洛谷2290 [HNOI2004]树的计数（题解待填充）

洛谷2624 [HNOI2008]明明的烦恼（题解待填充）

洛谷5219 无聊的难水题 I（题解待填充）