牛客练习赛42D（性质、数学）

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就像题解所说的，写几个可以发现有分成四段的性质：第一段是从n开始往下贪，第二段是个数字，第三段……卧槽好吧真难描述。

然后发现这个数据量可达1e9，所以考虑“二分确定序列+数学计算”的方式解题。

首先二分出第一段的长度，这里我写得丑了，又将某些情况特判了一下；不难发现有了第一段的长度、N、K这三个量，序列已确定。

然后疯狂手推数学公式把这四段的值求出来，特殊情况的例子很好举，自己调一调打打补丁做一做膜法，大概就莽A了吧……不过要是在考场上本垃圾就必死无疑了。

 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #include <iostream>
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const ll mod = 1e9 + ;
 ll N, K, x, ans1, ans2, ans3, ans4;

 ll add(ll a, ll b) {
     return a + b >= mod ? a + b - mod : a + b;
 }

 ll sub(ll a, ll b) {
     return a - b <  ? a - b + mod : a - b;
 }

 ll ksm(ll a, ll b) {
     ll ret = ;
     for (; b; b >>= ) {
         if (b & )    ret = ret * a % mod;
         a = a * a % mod;
     }
     return ret;
 }

 inline ll cal(ll l, ll r) {
     return (l + r) * (r - l + ) / ;
 }

 inline ll cal2(ll n) {//这是求x + 2*x^2 + ... + n*x^n的函数
     ll a = n % mod * ksm(x, n + ) % mod * (x - ) % mod;
     ll b = x * sub(ksm(x, n), ) % mod;
     return sub(a, b) * ksm((x - ) * (x - ) % mod, mod - ) % mod;
 }

 int main() {
     cin >> N >> K;
     x = N + ;
     if (K == ) {
         cout << cal2(N) << endl;
         return ;
     }
     ll l = , r = N;
     while (l < r) {
         ll mid = (l + r) >> ;
         if (cal(N - mid, N - ) <= K)    l = mid + ;
         else    r = mid;
     }
     while (cal(N - l, N - ) >= K)    l--;//至此l为第一段长度。如果出现54312这种，会将54作为第一段，3作为第二段，12为第三段，第四段为空
     if (l) {
         ans1 = add(sub(x * x % mod * (ksm(x, l) -  + mod) % mod * ksm(x - , mod - ) % mod, l * x % mod), (N - l) * x % mod * (ksm(x, l) -  + mod) % mod) * ksm(x - , mod - ) % mod;
         K -= cal(N - l, N - );
     }
     if (K) {
         K++, l++;//K就是第二段那个数字，l++只是为了运算简便
         ans2 = K % mod * ksm(x, l) % mod;
         ans3 = ksm(x, l) * cal2(K - ) % mod;
         if (N - l +  > K) {//如果有第四段
             ll tmp = K % mod * sub(ksm(x, N + ), ksm(x, K + l)) % mod * ksm(x - , mod - ) % mod;
             ans4 = add(tmp, ksm(x, K + l - ) * cal2(N - K - l + ) % mod);
         }
     }
     cout << (ans1 + ans2 + ans3 + ans4) % mod;
     return ;
 }