hihoCoder #1661 数组区间

题目大意

给出 $1$ 到 $n$ 的一个排列（$n\le 10^5$），记做 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 。（注：原题面表述为：“给定 $n$ 个互不相同且不超过 $n$ 的整数”，并未指明 $a_i$ 是正数，属描述不确切，实际题意如此。见管理员赛后发的题解）求所有可能的区间中前 $k$ （$k\le \min(n,50)$）大的数之和的总和，对于长度不足 $k$ 的区间则全部累加。（注：前 $k$ 大是指“最大的 $k$ 个”）

解法

这是一道“标准的”区间统计类问题。不难想到思路：考虑 $a_i$ 在多少个区间内能成为前 $k$ 大的数之一。

进一步转化成：

对每个数 $a_i$，求它前面/后面离它最近且比它大的 $k$ 个数的下标。

这个问题把我难住了。看了管理员的题解后，学到正解如下。

按 $a_i$ 从小到大的顺序求解。原因在于：若 $a_j < a_i$ 则 $a_j$ 对 $a_i$ 的结果毫无影响，故而按此顺序求解，求出 $a_i$ 对应的答案过后便可将 $a_i$ 删除。不难想到，可以用“双向链表”来维护原序列；每次向前 $k$ 跳，再向后 $k$ 跳即可。复杂度 $O(nk)$ 。

我并未手写双向链表，而是用了 std::list。我对 std::list 的接口不熟悉，这次又到 cppreference.com 上温习了一下。

这道题用 std::list 要注意的点有：

std::list<T>::iterator 属于 bidirectional iterator ，仅支持 ++ 和 -- 运算，不能加/减一个整数也不能两个 iterator 做差。
要注意区别 std::list<T>::iterator 和 std::list<T>::reverse_iterator 这两个类型。二者貌似是可以互相做类型转换的。例如

std::list<list> a{1,2,3,4};

std::<list>::iterator it=a.begin();

std::<list>::reverse_iterator rit = a.rend();

std::<list>::reverse_iterator rit2(it);

assert(rit == rit2);

需要注意的是，当 iterator 转成 reverse_iterator 时，会向前移动一次，即返回的 reverse_iterator object 指向的是原 iterator object 所指向的前一位置。

另外，在声明 reverse_iterator 时若要做此类型转换则只能以 () 或 {} 的方式赋初始值不能以 = 的方式（至少 g++ 如此）。

Implementation

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

list<int> a;

const int N =1e5+5;

list<int>::iterator iter[N];

int pre[51];

int post[51];

int main(){

    int n, k;

    cin >> n >> k;

    for(int i=1; i<=n; i++){

        int x;

        cin >> x;

        // std::list<T>::iterator is a BidirectionalIterator and does not support arithmetic operation, it can only be incremented or decremented.

        a.push_back(i);

        auto tmp=a.end();

        iter[x]=--tmp;

        // printf("%d\n", *iter[x]);

    }

    long long ans =0;

    for(int i=1; i<=n; i++){

        int c1 = 1;

        // auto tmp = iter[i];

        // how to convert an std::list<T>::iterator into an std::list<T>::reverse_iterator?

        // A: You can use std::make_reverse_iterator()

        // Note: the resulting reverse iterator is the original iterator moved one step forward, so that std::make_reverse_iterator(a.begin()) returns a.rend() and std::make_reverse_iterator(a.end()) returns a.rbegin().

        auto it = iter[i];

        // list<int>::reverse_iterator riter(++it);

        list<int>::reverse_iterator riter{++it};

        // cout << "x: "<< *riter << '\n';

            while(1){

                ++riter;

                if(riter==a.rend()){

                    pre[c1]=0;

                    break;

                }

                // cout << *riter<<'\n';

                pre[c1] = *riter;

                if(c1==k) break;

                ++c1;

            }

        int c2=1;

        auto tmp = iter[i];

        while(1){

            ++tmp;

            if(tmp==a.end()){

                post[c2]=n+1;

                break;

            }

            post[c2]=*tmp;

            if(c2==k) break;

            ++c2;

        }

        assert(c2 <= k);

        int pos = *iter[i];

        // for(int i=1; i<=c1; i++)

        //     cout << pre[i] << ' ';

        // cout << '\n';

        // for(int i=1; i<=c2; i++)

        //     cout << post[i] << ' ';

        // cout << '\n';

        pre[0] = pos;

        for(int j=1; j<=c1; j++){

            // cout <<":: "<< i << ' ' << pre[j] << ' ' << post[min(c2,k+1-j)]<<'\n';

            ans += (long long)(i)*(pre[j-1]-pre[j])*(post[min(c2,k+1-j)]-pos);

        }

        a.erase(iter[i]);

    }

    cout << ans << '\n';

    return 0;

}