【卡常 bitset 分块】loj#6499. 「雅礼集训 2018 Day2」颜色

好不容易算着块大小，裸的分块才能过随机极限数据；然而这题在线的数据都竟然是构造的……

题目描述

有 $n$ 个数字，第 $i$ 个数字为 $a_i$。

有 $m$ 次询问，每次给出 $k_i$ 个区间，每个区间表示第 $l_{i, j}$ 到 $r_{i, j}$ 的数字，求这些区间中一共出现了多少种不同的数字。

部分数据强制在线。

第一行包含三个整数 $n, m, p$，$p$ 为 $0$ 或 $1$ 表示是否强制在线。

第二行 $n$ 个正整数，第 $i$ 个表示 $a_i$。

接下来依次给出每个询问，每个询问第一行一个正整数，表示 $k_i$，接下来 $k_i$ 行，每行两个正整数，分别表示 $l_{i, j}$ 和 $r_{i, j}$，若 $p = 1$ 且这不是第一个询问，输入的 $l_{i, j}$ 和 $r_{i, j}$ 是经过加密的，你需要将这两个数字分别异或上上一个询问的答案，对 $n$ 取模后再加 $1$，两者较小值为真实的 $l_{i, j}$，较大值为真实的 $r_{i, j}$。

对于全部数据，$1 \leq n, m, \sum k_i, a_i \leq 10^5, 1 \leq l_{i, j} \leq r_{i, j} \leq n$。

• 子任务 $\rm 1(points:10)$：$n, m, \sum k_i, a_i \leq 5000$
• 子任务 $\rm 2(points:10)$：$n, m, \leq 5000$
• 子任务 $\rm 3(points:20)$：$k_i = 1$
• 子任务 $\rm 4(points:20)$: $p = 0$
• 子任务 $\rm 5(points:20)$：$1 \leq n, m, \sum k_i, a_i \leq 50000$
• 子任务 $\rm 6(points:20)$：无特殊限制

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题目分析

首先会有一个朴素的分块想法：将序列分块，每个块维护一个bitset。

但是我们会很快意识到bitset一次或操作的复杂度是$O(值域)$的，这么大的复杂度显然我们无法接受。这个想法的最大瓶颈在于中间连续一段bitset的操作复杂度太高。

用以维护分块处理这个瓶颈的方法有两种：线段树/ST表，也就是用基础的区间数据结构来维护一段区间的bitset值。

让我们冷静分析一下这两种方法的复杂度：

我们很容易想到用`bitset`做，先不管空间限制的话会想到这两种方法：

• 1. 线段树：构造 $O({ n^2\over\omega })​$ ，询问 $O({ n^2\over\omega }log_2n)​$ 。
• 2. ST表：构造 $O({ n^2\over\omega }log_2n)$ ，询问 $O({ n^2\over\omega })$ 。

都是无法承受的，于是考虑分块来降低复杂度，只记录块之间的信息：

• 1. 线段树：构造 $O({ n^2\over\omega S })$ ，询问 $O({ n^2\over\omega }log_2{ n\over S }+nS)$ 。
• 2. ST表：构造 $O({ n^2\over\omega S }log_2{ n\over S })$ ，询问 $O({ n^2\over\omega }+nS)$ 。

发现线段树的那个 $log_2{n\over S}$ 搞不掉，于是gg了，而ST表 $S$ 设置的正常点复杂度都没什么问题。

不过这道题卡内存，所以 $S$ 需要给大点。

这是一个非常规分块的技巧，好像叫四毛子算法？

——摘自ZZK的题解

那么，只需要手写bitset+卡常+分块就可以解决这题了。

 #include<bits/stdc++.h>
 const int maxn = ;
 const int maxp = (>>)+;
 const int maxt = (<<)-;
 const int maxb = ;

 int a[maxn],dt[maxn],lg2[maxn],t[maxn],tot;
 struct bitset
 {
     unsigned int a[maxp];
     bitset operator |(bitset b) const
     {
         bitset c;
         for (int i=; i<=tot; i++)
             c.a[i] = a[i]|b.a[i];
         return c;
     }
     void reset()
     {
         for (int i=; i<=tot; i++) a[i] = ;
     }
     void set(int x)
     {
         a[x>>] |= 1u<<(x&);
     }
     int count()
     {
         int ret = ;
         for (int i=; i<=tot; i++)
             ret += dt[a[i]>>]+dt[a[i]&maxt];
         return ret;
     }
 }f[maxb][],ans;
 int n,m,p,lastans;
 int blk[maxn],size,bkTot;

 int read()
 {
     char ch = getchar();
     int num = , fl = ;
     for (; !isdigit(ch); ch=getchar())
         if (ch=='-') fl = -;
     for (; isdigit(ch); ch=getchar())
         num = (num<<)+(num<<)+ch-;
     return num*fl;
 }
 void init()
 {
     for (int i=, Mx=; i<=Mx; i++)
         for (int x=i; x; x&=(x-)) ++dt[i];
     for (int i=, Mx=; i<=Mx; i++)
         lg2[i] = lg2[i>>]+;
 }
 void deal(int l, int r)
 {
     int ls = blk[l], rs = blk[r];
     if (ls==rs){
         for (int i=l; i<=r; i++) ans.set(a[i]);
         return;
     }
     for (int i=l; blk[i]==ls; i++) ans.set(a[i]);
     for (int i=r; blk[i]==rs; i--) ans.set(a[i]);
     if (ls+ < rs){
         int t = lg2[rs-ls-];
         ans = ans|f[ls+][t]|f[rs-(<<t)][t];
     }
 }
 int main()
 {
     n = read(), m = read(), p = read();
     init(), size = sqrt(1.2*n*log2(n+)), bkTot = n/size+;
     for (int i=; i<=n; i++)
         t[i] = a[i] = read(), blk[i] = i/size+;
     std::sort(t+, t+n+);
     tot = std::unique(t+, t+n+)-t-;
     for (int i=; i<=n; i++)
         a[i] = std::lower_bound(t+, t+tot+, a[i])-t,
         f[blk[i]][].set(a[i]);
     tot >>= ;
     for (int j=; j<=lg2[bkTot]; j++)
         for (int i=; i+(<<j)-<=bkTot; i++)
             f[i][j] = f[i][j-]|f[i+(<<(j-))][j-];
     for (int tim=; m; --m, ++tim)
     {
         ans.reset();
         for (int k=read(); k; --k)
         {
             int l = read(), r = read();
             if (p&&tim) l = (l^lastans)%n+, r = (r^lastans)%n+;
             if (l > r) std::swap(l, r);
             deal(l, r);
         }
         lastans = ans.count();
         printf("%d\n",lastans);
     }
     return ;
 }

END