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分析

  • 二分图博弈经典模型，首先将棋盘二分图染色。

  • 考虑在某个最大匹配中：

    • 如果存在完美匹配则先手必败，因为先手选定的任何一个起点都在完美匹配中，而后手则只需要走这个点的匹配点，然后先手只能再找一个匹配点，所以先手必败。

    • 从非匹配点出发先手必胜：后手只能走到匹配点(否则不是最大匹配)，之后先手只需要一直走匹配边即可。从匹配点不可能走到非匹配点(否则存在增广路，与最大匹配矛盾)，所以先手必胜。

    • 记状态 1 表示一定在最大匹配中，0 表示不一定。我们发现只要一个点状态为 0，从这个点出发都是先手必胜的，否则先手必败。关于后半句，假设我们从状态为 1 的点(假设属于点集 S)出发，后手不断选择匹配边，这样先手不可能选择到另一个属于 S 集合的状态为 0 的点，否则出发点的状态就不是 1。假设我们从状态为 0 的点出发(假设某次这个点在最大匹配中)，那么先手一定能在某个时刻跳到一个非匹配点，此时后手开始选择新的点，而先手只需要走对应的匹配边即可获胜。

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