Loj #2324. 「清华集训 2017」小 Y 和二叉树

小Y是一个心灵手巧的OIer，她有许多二叉树模型。

小Y的二叉树模型中，每个结点都具有一个编号，小Y把她最喜欢的一个二叉树模型挂在了墙上，树根在最上面，左右子树分别在树根的左下方与右下方，且他们也都满足

这样的悬挂规则。为了让这个模型更加美观，小Y选择了一种让这棵二叉树的中序遍历序列最小的悬挂方法。所谓中序遍历最小，就是指中序遍历的结点编号序列的字典

序最小。

一天，这个模型不小心被掉在了地上，幸运的是，所有结点和边都没摔坏，但是她想不起这个模型原来是怎么悬挂的了，也就是说：她想不起来树根节点的编号了。

小Y最近忙于准备清华集训，所以没太多时间处理别的事情，她只好找到同样心灵手巧的你帮忙复原她的二叉树模型。

给定小Y的二叉树模型，结点的编号为 $1$ ~ $n$ ，你需要给出其可能的最小的中序遍历，方便小Y更快的摆好她的模型。

输入格式

第一行为一个正整数 $n$ ，表示点的个数。

后接 $n$ 行，每行若干个整数：

第 $i+1$ 行的第一个整数为 $k_i$ ，表示编号为 $i$ 的结点的度数，后接 $k_i$ 个整数 $a_{i,j}$ ，表示编号为 $i$ 的结点与编号为 $a_{i,j}$ 的结

点之间有一条边。

同一行输入的相邻两个元素之间，用恰好一个空格隔开。

输出格式

输出共一行， $n$ 个整数，表示字典序最小的中序遍历。

数据范围与提示

$n\leq 10^6$

假设我们知道了最优答案下的根，那么答案就很好求了。

设$mn_i$表示$i$的子树的中序遍历得到第一个点。我们可以发现，$mn_i$就是$i$子树中度数$\leq 2$的子节点中最小的那个。然后我们就递归：如果一个点有两个儿子，就优先走$mn$值小的那个；如果只有一个儿子，就要判断儿子的$mn$值是否比自己的值大来判断将儿子放在左边还是右边。

难点就是找根。很容易发现，答案的第一位一定是度数$\leq 2$的节点中最小的那个。然后我们从这个点开始递归，找到最终答案下的根。我们先找到最小的点，设为$g$。然后以$g$为根，求出$mn$数组。接着就是分情况讨论：

假设当前处理$v$节点。默认与$v$相邻的还没有访问到的点为$v$的儿子。

情况1：

假设$v$只有一个儿子$sn_1$，若 $sn_1\leq mn_{sn_1}$ 则 $sn_1$ 就作为$v$的父亲，递归$sn_1$；否则$v$就是最终的根。

如果$sn_1$不作为$v$的父亲，那么最终答案里，$v$过了就是$mn_{sn_1}$；反之$v$过了就是$sn_1$。所以这个贪心是正确的。

情况2：

假设$v$有两个儿子$sn_1$,$sn_2$（不妨设$mn_{sn_1}<mn_{sn_2}$）。那么将$sn_1$作为右儿子，$sn_2$作为父亲，递归$sn_2$。

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define N 1000005

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n;

int r[N];

struct road {

	int to,nxt;

}s[N<<1];

int h[N],cnt;

void add(int i,int j) {s[++cnt]=(road) {j,h[i]};h[i]=cnt;}

vector<int>ans;

int rt;

bool vis[N];

int mn[N];

void Get_mn(int v,int fr) {

	if(r[v]<3) mn[v]=v;

	else mn[v]=1e9;

	for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {

		int to=s[i].to;

		if(to==fr) continue ;

		Get_mn(to,v);

		mn[v]=min(mn[v],mn[to]);

	}

}

int RT;

void Find_rt(int v,int fr) {

	int sn1=0,sn2=0;

	for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {

		int to=s[i].to;

		if(to==fr) continue ;

		if(!sn1) sn1=s[i].to;

		else sn2=s[i].to;

	}

	if(!sn1) {RT=v;return ;}

	if(!sn2) {

		if(sn1<=mn[sn1]) Find_rt(sn1,v);

		else {RT=v;return ;}

	} else {

		if(mn[sn1]>mn[sn2]) swap(sn1,sn2);

		Find_rt(sn2,v);

	}

}

void Print(int v,int fr) {

	int sn1=0,sn2=0;

	for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {

		int to=s[i].to;

		if(to==fr) continue ;

		if(!sn1) sn1=to;

		else sn2=to;

	}

	if(mn[sn1]>mn[sn2]) swap(sn1,sn2);

	if(!sn2&&mn[sn1]>v) swap(sn1,sn2);

	if(sn1) Print(sn1,v);

	cout<<v<<" ";

	if(sn2) Print(sn2,v);

}

int main() {

	mn[0]=1e9;

	n=Get();

	for(int i=1;i<=n;i++) {

		int k=Get();

		r[i]=k;

		while(k--) {

			int a=Get();

			add(i,a);

		}

	}

	rt=1e9;

	for(int i=1;i<=n;i++) if(r[i]!=3) rt=min(rt,i);

	Get_mn(rt,0);

	Find_rt(rt,0);

	Get_mn(RT,0);

	Print(RT,0);

	return 0;

}