【CF809E】Surprise me!

题目

这是一道神仙题

看到这样一个鬼畜的柿子

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(a_i\times a_j)\times dis(i,j)
\]

又是树上距离又是\(\varphi\)的看起来根本就不知道怎么搞啊

首先需要知道一个这样的性质

\[\varphi(a\times b)=\frac{\varphi(a)\times \varphi(b)\times d}{\varphi(d)},d=(a,b)
\]

这个性质非常显然

设\(a=p^{k_1},b=p^{k_2},k_1<k_2\)

于是\(d=p^{k_1}\)

\[\varphi(a\times b)=\varphi(p^{k_1+k_2})=p^{k_1+k_2-1}(p-1)
\]

\[\frac{\varphi(a)\times \varphi(b)\times d}{\varphi(d)}=\frac{p^{k_1-1}p^{k_2-1}(p-1)^2p^{k_1}}{p^{k_1-1}(p-1)}=p^{k_1+k_2-1}(p-1)
\]

这个东西显然是积性的，扩展到多个质因子也是成立的

于是写成

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\varphi(a_i)\times \varphi(a_j)\times (a_i,a_j)}{\varphi((a_i,a_j))}\times dis(i,j)
\]

套路枚举\(gcd\)

\[\sum_{d=1}^n\frac{d}{\varphi(d)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(a_i,a_j)=d]\varphi(a_i)\times \varphi(a_j)\times dis(i,j)
\]

考虑设后面那个东西叫

\[f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(a_i,a_j)=d]\varphi(a_i)\times \varphi(a_j)\times dis(i,j)
\]

显然我们还需要一个函数叫

\[F(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[d|(a_i,a_j)]\varphi(a_i)\times \varphi(a_j)\times dis(i,j)
\]

我们可以直接反演了

\[F(d)=\sum_{d|n}f(n)
\]

\[f(d)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})F(n)
\]

现在的问题就是求出\(F\)，我们就可以做了

显然树上的点都有一个约数\(d\)的时候，任意两点的的\(gcd\)就会是\(d\)的倍数

我们如果把\(d|a_i\)的\(i\)拿出来，建出一棵虚树，搞一个树形\(dp\)

求一下

\[dp_i=\sum_{j=1}^ndis(i,j)\varphi(a_j)
\]

就好了，这就是一个小学生\(dp\)求树上带权重心了

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define re register
#define LL long long
const int maxn=2e5+5;
const LL mod=1e9+7;
inline int read() {
	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
struct E{int v,nxt,w;}e[maxn<<1];
int dfn[maxn],son[maxn],deep[maxn],a[maxn],b[maxn],P[maxn];
int Top[maxn],st[maxn],num,n,__,top,head[maxn],fa[maxn];
int f[maxn],p[maxn>>1],mu[maxn],phi[maxn];
LL dp[maxn],sum[maxn],S,inv[maxn],F[maxn];
inline int cmp(int a,int b) {return dfn[a]<dfn[b];}
inline LL ksm(LL a,int b) {
	LL S=1;
	while(b) {if(b&1) S=S*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}
	return S;
}
inline void add(int x,int y,int w) {
	e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];
	head[x]=num;e[num].w=w;
}
void dfs1(int x) {
	int maxx=-1;sum[x]=1;
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
		if(deep[e[i].v]) continue;
		deep[e[i].v]=deep[x]+1,fa[e[i].v]=x;
		dfs1(e[i].v);sum[x]+=sum[e[i].v];
		if(sum[e[i].v]>maxx) maxx=sum[e[i].v],son[x]=e[i].v;
	}
}
void dfs2(int x,int topf) {
	Top[x]=topf;dfn[x]=++__;
	if(!son[x]) return;
	dfs2(son[x],topf);
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	if(!Top[e[i].v]) dfs2(e[i].v,e[i].v);
}
inline int LCA(int x,int y) {
	while(Top[x]!=Top[y]) {
		if(deep[Top[x]]<deep[Top[y]]) std::swap(x,y);
		x=fa[Top[x]];
	}
	if(deep[x]<deep[y]) return x;return y;
}
inline void ins(int x) {
	if(top<=1) {st[++top]=x;return;}
	int lca=LCA(st[top],x);
	if(lca==st[top]) {st[++top]=x;return;}
	while(top>1&&dfn[st[top-1]]>=dfn[lca])
		add(st[top-1],st[top],deep[st[top]]-deep[st[top-1]]),top--;
	if(lca!=st[top]) {add(lca,st[top],deep[st[top]]-deep[lca]);st[top]=lca;}
	st[++top]=x;
}
void dfs(int x) {
	sum[x]=f[x]*phi[a[x]];
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
		dfs(e[i].v);
		sum[x]+=sum[e[i].v];
		dp[x]+=(dp[e[i].v]+sum[e[i].v]*(LL)e[i].w%mod)%mod;
		dp[x]%=mod;
	}
}
void reDfs(int x) {
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
		LL now=dp[x]-(dp[e[i].v]+sum[e[i].v]*(LL)e[i].w%mod)%mod;
		now=(now+mod)%mod;
		dp[e[i].v]=(dp[e[i].v]+now+((S-sum[e[i].v])*(LL)e[i].w)%mod)%mod;
		reDfs(e[i].v);
	}
}
void clear(int x) {
	f[x]=dp[x]=sum[x]=0;
	for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) clear(e[i].v);
	head[x]=0;
}
int main() {
	n=read();
	for(re int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(re int x,y,i=1;i<n;i++)
		x=read(),y=read(),add(x,y,0),add(y,x,0);
	deep[1]=1,dfs1(1),dfs2(1,1);
	for(re int i=1;i<=n;i++) b[a[i]]=i;
	f[1]=mu[1]=phi[1]=1;
	for(re int i=2;i<=n;i++) {
		if(!f[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
		for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=n;j++) {
			f[p[j]*i]=1;
			if(i%p[j]==0) {
				phi[p[j]*i]=p[j]*phi[i];
				break;
			}
			mu[p[j]*i]=-1*mu[i];
			phi[p[j]*i]=(p[j]-1)*phi[i];
		}
	}
	inv[1]=1;
	for(re int i=2;i<=n;i++) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	memset(head,0,sizeof(head));
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(sum,0,sizeof(sum));
	for(re int k=1;k<=n;k++) {
		int tot=0;
		num=0,top=0;
		for(re int j=k;j<=n;j+=k)
			P[++tot]=b[j],f[P[tot]]=1;
		std::sort(P+1,P+tot+1,cmp);
		int rt=P[1];
		for(re int i=2;i<=tot;i++) rt=LCA(rt,P[i]);
		if(!f[rt]) st[++top]=rt;
		for(re int i=1;i<=tot;i++) ins(P[i]);
		while(top) add(st[top-1],st[top],deep[st[top]]-deep[st[top-1]]),top--;
		dfs(rt);S=sum[rt];reDfs(rt);
		for(re int i=1;i<=tot;i++)
			F[k]=(F[k]+(LL)phi[a[P[i]]]*dp[P[i]]%mod)%mod;
		clear(rt);
	}
	LL ans=0;
	for(re int i=1;i<=n;i++) {
		LL now=0;
		for(re int j=i;j<=n;j+=i)
			now=(now+F[j]*mu[j/i]%mod)%mod,now=(now+mod)%mod;
		ans=(ans+now*(LL)i%mod*inv[phi[i]]%mod)%mod;
	}
	LL now=(LL)n*(LL)(n-1);
	now%=mod;
	printf("%lld\n",ksm(now,mod-2)*ans%mod);
	return 0;
}