【概率证明】—— sum and product rules of probability

1. sum and product rules of probability

⎧⎩⎨p(x)=∫p(x,y)dyp(x,y)=p(x|y)p(y)

• sum rule of probability 的积分符号自然可以换成 ∑ 求和符号（针对离散型随机变量）

2. 简单应用

sum and product rules of probability in Bishop’s book

sum and product rules of probability

• 证明：p(x=1|D)=∫10p(x=1|μ)p(μ|D)dμ

  首先根据 sum rule：

  p(x=1|D)=∫10p(x=1,μ|D)dμ

  进一步应用 product rule，可得：

  ∫10p(x=1,μ|D)dμ==∫10p(x=1|μ,D)p(μ|D)dμ∫10p(x=1|μ)p(μ|D)dμ

  这里隐含了一个假定，即给定 μ 条件下，x=1（新的待测样本） 与 D（既有的历史数据集） 是条件独立的。