动态规划求解序列问题(LIS、JLIS)
1. 最长递增子序列
不要求位置连续;要求大小严格递增(strictly increasing)
穷举法解题
首先以每个数字为单位分割寻找最长递增子序列;
int lis(const vector<int>& A){
if (A.size() == 1) return 1;
int ret = 0;
for (int i = 0; i < A.size()-1; ++i){
if (A[i] < A[i+1]) {
vector<int> B(A.begin()+(i+1), A.end());
ret = max(ret, 1+lis(B));
}
}
return ret;
}动态规划:修正输入值
上述代码虽然能够非常优秀地完成穷举搜索算法,但很难适用于动态规划制表的方法。最直接的原因在于输入值并非可索引的整数,而本身即为整数型数组。当然可以像 STL 的关联数组 map 实现制表的方法,但运算速度效率很低。
因此可将本题转化为可最优化(子问题的最优解也是全局的最优解)的动态规划问题。
int cache[100];
vector<int> A;
int lis_dp(int s){
if (s == A.size() - 1) return 1;
int& ret = cache[s];
if (ret != -1) return ret;
for (int skip = s+1; skip < A.size(); ++skip){
if (A[s] < A[skip])
ret = max(ret, 1+lis_dp(skip));
}
return ret;
}注意,到这并不算完,还需要:
int maxLen = 0;
for (int begin = 0; begin < n; ++begin)
maxLen = max(maxLen, lis_dp(begin));在调用端,总是需要指定递增子序列的起始位置,使用该函数将该函数的使用置于一个循环体内。
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