bzoj1925 地精部落

神题！

地精部落

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题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

输入格式

仅含一行，两个正整数 N, P。

输出格式

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

样例

样例输入

4 7

样例输出

3

数据范围与提示

对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤10910^910​9​​

题目大意

规定一个数如果比其左边右边数都小则称之为山谷，如果都大则称之为山峰。给定1-n（1-n不重复出现）的一个数列。求使山峰山谷交替出现的数列方案数

计数dp？

引理1

如果一个序列每个数ai置换为（n-ai）+1我们可以得到一个符合题意新数列，并且若原队列先降后增，则新数列先增后降

引理2

所有先降后增的方案数之和等于先增后降方案数之和

这两个引理非常重要

由因引理二可得：如果设f[i]为长度为i的山（固定j为山峰）并且前两个山分别为山峰和山谷（先降后增）时方案数，那么我们得出最后结果f[n]只需要*2就可得ans

你可能会疑问j是什么，别着急

固定j为山峰，那么j只有为奇数时才能转移。

fi可以由每一个固定j为山峰的位置转移。

首先因为先降后增那么f偶数项末尾一定为山谷，

然后我们从i-1个数中选择j-1个数，再让他们*f[j-1]，即可将他们固定为先降后增。

然后又由于引理二得到后i-j个数中先增后降其实就是先降后增方案。

$f[i]=\sum_{j为奇数}^{j<=i}   f[j-1]*f[i-j]*$ $C_{i-1}^{j-1}$

转移就完了。

以下是本人（常数极大+丑陋+刻意压行）的代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define A 3000000
ll C[4][A],f[A],n,p;
int main(){
        cin>>n>>p;f[0]=C[1][1]=C[0][0]=C[1][0]=1;
        for(ll i=1;i<=n;i++)
                for(ll j=1;j<=i;j++)
                {
                        if(j&1)
                                f[i]=(f[i]+f[j-1]%p*f[i-j]%p*C[(i-1)&1][j-1])%p;
                        C[i&1][j]=(C[(i-1)&1][j]+C[(i-1)&1][j-1])%p;
                }
        cout<<(2*f[n])%p<<endl;
}