[Bzoj 1192][HNOI2006]鬼谷子的钱袋（二进制优化多重背包）

（人生第一篇bzoj题解有点激动

首先介绍一下题目：

看它题目那么长，其实意思就是给定一个数a，求将其拆分成n个数，通过这n个数可以表示出1~a中所有数的方案中，求最小的n。

您看懂了嘛？不懂咱来举个栗子：

3可以变为（1，2）两个数（废话，我当然知道），使1，2可以表示出1，2，3这些数字。看到这道题就想到了不久前看到的二进制优化多重背包。简直一模一样。

我们想我们对于一个数P。我们可以将其分成两部分（1~P/2)与（P/2+1,P),我们思考:假设我们已经知道（1~P/2）至少需要m个数，那么我们完全可以在左区间的基础上添加一个P/2这个数，使这m+1个数可以表示（1~P）的所有数，因为（1+P/2~P/2+P/2)=(P/2+1~P)。

我们其实又可以通过手+草稿纸发现关于一个P的最小值n是有（1~P）的左半边区间（1~P/2)的最小值+1有关，而（1~P/2)的最小值又与它本身的左半边区间的值有关，所以事实上这是一个可以递推的过程。

然后我们归纳总结一下——P与P/2有关，P/2又与P/4有关，很容易联想到二进制。我们只要手算过后稍一扩展我们便会发现——关于一个数P，我们使一个数s满足2^s -1<P，注意严格小于P,即s为log2(P),那么这一个数P可以被1,2，4.......2^s-1,P-2^s  +1 分解。

那么其实我们很快就可以知道一个数P所对应最小n了，其实就是log2（P)+1.那么这道题一下变得简单了起来，贴代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
    long long a;
    scanf("%lld",&a);
    printf("%lld",(long long )log2(a)+1);
}

鬼谷子的钱袋

其实这道题在luogu上有加强版本https://www.luogu.org/problem/P2320，其要求输出每个钱袋的数量，这道题也很简单，我们通过上面的推理先求出S，再以此求出1~2^s-1 和P-2^s+1再排序输出即可（据说原本只有算n，luogu加上了这道题，然而数据貌似有锅）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
long long p,s,k;
int main()
{
    scanf("%lld",&p);
    printf("%lld\n",(long long)log2(p)+1);
    s=log2(p);
    k=p-(1<<s)+1;
        for(long long i=0;i<=s-1;i++)
        {
            if(1<<i>k&&k!=0)
            {
                printf("%lld ",k);
                k=0;
            }
            printf("%lld ",1<<i);
        }
        if(k!=0)
        printf("%lld ",k);
    return 0;
 } 

鬼谷子的钱袋（加强版

接下来简单描述一下标题所写的二进制优化多重背包

一般来说我们的多重背包的思路是枚举取n个同种物品，转化为01背包

那这样的时间复杂度 O(NV*∑(V/W[i])).（V为体积，W[i]为每件的费用）

但假如我们将每件物品都像鬼谷子的钱袋一样二进制拆分，那每一个物品都会被拆成log2（W[i])+1个物品

那这样再做01背包所要的时间复杂度为 O(V*log(W[i])+V)(PS：这个时间复杂度有可能写错了，但是应该差不多）

关于二进制优化多重背包以后我会再写一篇博客来讲，这篇主要的是题解hhh

您理解了嘛，慢走。

不理解的可以加qq2733524923我们一起探讨哦