[题解]第十一届北航程序设计竞赛预赛——D.最大公约数

题目描述

给一个长度为n(1<=n<=100000)的正整数列，分成尽量多的非空段，使得每一段的最大公约数相等。一个数的最大公约数是它本身。

解题思路

要求每一段子列的gcd相等，不妨设为d，可以知道d是所有数的最大公约数，即d=(a[1],a[2],……,a[n])。于是我们先求出d，然后从前往后扫描，记st=1，移动ed，计算d1=(a[st],……,s[ed])，直到d1==d，得到的区间[st,ed]就是一个符合题目要求的子列；记st=ed+1，重复上述操作，直至数列扫完。算法时间复杂度为O(n logx)，其中x表示数列的数的大小。

注：

1、由于gcd(a[i],……,a[j])=gcd(gcd(a[i],……,a[k]),gcd(a[k+1],……,a[j]))，(i<k<j)，所以计算多个数的gcd直接两两计算即可；计算子列的gcd直接在扫描时每多一个书就多一次求gcd即可。

2、按照上述算法可能出现最后一段的gcd不等于d的情况，可以看作最后一段不被单独分出来，而是跟前一段合并为一段的。注意到跟前面的一段合并后gcd一定等于d，因为d=(a[1],a[2],……,a[n])，最后一段的gcd记为ds只能是d的倍数，而前一段的gcd为d，所以合并后gcd一定为d。另外，所谓“前一段”是一定存在的，否则所有的最大公约数不可能为d。

附：c++代码

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3
 4 using namespace std;
 5 #define MaxN 100020
 6
 7 int a[MaxN];
 8
 9 inline void Get_int(int &Ret)
10 {
11     char ch;
12     bool flag=false;
13     for(;ch=getchar(),ch<'0'||ch>'9';)
14         if(ch=='-')
15             flag=true;
16     for(Ret=ch-'0';ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9';Ret=Ret*10+ch-'0');
17     flag&&(Ret=-Ret);
18 }
19
20 inline int My_gcd(int a, int b)
21 {
22     int r;
23     if(a < b)
24         swap(a, b);
25     while(b)
26     {
27         r = a % b;
28         a = b;
29         b = r;
30     }
31     return a;
32 }
33
34 int main ()
35 {
36     int n, ans;
37     int x, tmp;
38     int i;
39     bool flag;
40     while(scanf("%d", &n) != EOF)
41     {
42         for(i = 1; i <= n; i++)
43         {
44             Get_int(a[i]);
45             if(i == 1)
46                 x = a[i];
47             else
48                 x = My_gcd(a[i], x);
49         }
50         if(n == 1)
51         {
52             printf("1\n");
53             continue;
54         }
55         //printf("%d\n", x);
56         ans = 0;
57         flag = false;
58         for(i = 1; i <= n; i++)
59         {
60             if(!flag)
61             {
62                 if(a[i] == x)
63                     ans++;
64                 else
65                 {
66                     tmp = a[i];
67                     flag = true;
68                 }
69             }
70             else
71             {
72                 tmp = My_gcd(a[i], tmp);
73                 if(tmp == x)
74                 {
75                     flag = false;
76                     ans++;
77                 }
78             }
79         }
80         printf("%d\n", ans);
81     }
82     return 0;
83 }

另一种思路

这是官方给出的题解，动归

最大公约数满足结合律，所以题目所说相等的gcd就是原数列的gcd，不妨设为d。

设f[i]为前i个数能分的最大段数，枚举最后一个段是[j+1,i]，则有gcdik=j+1ak=d，而f[i]=maxf[j]+1。如果j不存在，可以认为f[i]是不合法的部分，令f[i]=0即可。

不难证明满足条件的j是一段前缀区间，而且f[i]是单调的，所以最大的f[j]一定是尽量靠右的，可以直接找到这个j来对f[i]更新答案。

区间gcd可以预处理ST表得到，或者顺着推以每个点结尾的区间gcd即可，可以证明以每个点结尾的区间gcd的值个数是不超过logn个的，所以整体的复杂度是O(n(logn)^2)。

题目链接：https://biancheng.love/contest-ng/index.html#/29/problems