P4389-付公主的背包【生成函数,多项式exp】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4389
题目大意
\(n\)种物品,第\(i\)种大小为\(v_i\),数量无限。对于每个\(s\in[1,m]\)求刚好填满\(s\)容量的方案数。
\(1\leq n,m\leq 10^5\)
解题思路
统计和为一定值的方案数,好像可以生成函数做?
每种物品大小\(v\)有一个生成函数
\]
然后所有生成函数乘起来就好了,但这样是\(O(n^2\log n)\)的比暴力还慢...
乘起来比较慢,如果\(ln\)之后改成加法就好了,但是\(ln\)也是\(O(n)\)的。不过我们的式子比较特殊,对于\(ln\)之后求个导就会有神器的结果
\]
\]
然后在积分回去就是
\]
然后记录每个大小的物品出现了多少次,之后\(O(m\log m)\)加系数,然后再\(exp+\)求逆回去就好了。
时间复杂度\(O(n+m\log m)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e5+10,P=998244353;
ll n,c,l,r[N],f[N],v[N],inv[N];
ll t1[N],t2[N],t3[N],t4[N],t5[N],t6[N];
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
void Glen(ll m){
n=1;while(n<=m)n<<=1;
for(ll i=0;i<n;i++)
r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);
return;
}
void NTT(ll *f,ll op){
for(ll i=0;i<n;i++)
if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);
if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
for(ll k=0;k<n;k+=p){
ll buf=1;
for(ll i=k;i<k+len;i++){
ll tt=f[i+len]*buf%P;
f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
f[i]=(f[i]+tt)%P;
buf=buf*tmp%P;
}
}
}
if(op==-1){
ll inv=power(n,P-2);
for(ll i=0;i<n;i++)
f[i]=f[i]*inv%P;
}
return;
}
void GetInv(ll *f,ll *g,ll m){
if(m==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}
GetInv(f,g,m>>1);Glen(m);
for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=f[i],t2[i]=g[i];
NTT(t1,1);NTT(t2,1);
for(ll i=0;i<n;i++)
t1[i]=t1[i]*t2[i]%P*t2[i]%P;
NTT(t1,-1);
for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(g[i]*2-t1[i]+P)%P;
for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t2[i]=0;
return;
}
void GetD(ll *f,ll *g,ll n){
for(ll i=0;i<n-1;i++)
g[i]=f[i+1]*(i+1)%P;
g[n-1]=0;return;
}
void GetJ(ll *f,ll *g,ll n){
for(ll i=n-1;i>0;i--)
g[i]=f[i-1]*power(i,P-2)%P;
g[0]=0;return;
}
void GetLn(ll *f,ll *g,ll m){
Glen(m);GetD(f,t3,n);GetInv(f,t4,n);
Glen(m);Glen(n);NTT(t3,1);NTT(t4,1);
for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t3[i]*t4[i];
NTT(t3,-1);GetJ(t3,g,n);
for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t4[i]=0;
return;
}
void GetExp(ll *f,ll *g,ll m){
if(m==1){g[0]=1;return;}
GetExp(f,g,m>>1);GetLn(g,t5,m);Glen(m);
for(ll i=0;i<m;i++)t6[i]=f[i];
for(ll i=m;i<n;i++)t5[i]=0;
NTT(t5,1);NTT(t6,1);NTT(g,1);
for(ll i=0;i<n;i++)g[i]=g[i]*(1-t5[i]+t6[i]+P)%P;
NTT(g,-1);for(ll i=m;i<n;i++)g[i]=0;
return;
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&c,&l);inv[1]=1;
for(ll i=2;i<N;i++)
inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;
for(ll i=1;i<=c;i++){
ll x;scanf("%lld",&x);
v[x]++;
}
Glen(l);
for(ll i=l;i>=1;i--){
ll w=v[i];v[i]=0;
for(ll j=i;j<n;j+=i)
(v[j]+=w*(P-inv[j/i])%P)%=P;
}
ll p=n;GetExp(v,f,n);
for(ll i=0;i<n;i++)v[i]=0;
GetInv(f,v,n);
for(ll i=1;i<=l;i++)
printf("%lld\n",v[i]);
return 0;
}
P4389-付公主的背包【生成函数,多项式exp】的更多相关文章
- 洛谷P4389 付公主的背包--生成函数+多项式
题目链接戳这里 题目描述 有\(n\)件不同的商品,每件物品都有无限个,输出总体积为\([1,m]\)的方案数 思路 直接跑背包有\(30\) 考虑把每个物品的生成函数设出来,对于一件体积为\(v\) ...
- 洛谷P4389 付公主的背包 [生成函数,NTT]
传送门 同样是回过头来发现不会做了,要加深一下记忆. 思路 只要听说过生成函数的人相信第一眼都可以想到生成函数. 所以我们要求 \[ ans=\prod \sum_n x^{nV}=\prod \fr ...
- 洛谷 P4389 付公主的背包 解题报告
P4389 付公主的背包 题目背景 付公主有一个可爱的背包qwq 题目描述 这个背包最多可以装\(10^5\)大小的东西 付公主有\(n\)种商品,她要准备出摊了 每种商品体积为\(V_i\),都有\ ...
- 洛谷 P4389: 付公主的背包
题目传送门:洛谷 P4389. 题意简述: 有 \(n\) 个物品,每个物品都有无限多,第 \(i\) 个物品的体积为 \(v_i\)(\(v_i\le m\)). 问用这些物品恰好装满容量为 \(i ...
- luogu P4389 付公主的背包
传送门 神仙题鸭!orz dkw 暴力就是完全背包 而完全背包可以和生成函数扯上关系,记第i种物品质量为\(a_i\),那么这种物品的生成函数\(G(i)=\sum_{j=0}^{\infty}x^{ ...
- [洛谷P4389]付公主的背包
题目大意:有$n(n\leqslant10^5)$种物品,第$i$个物品体积为$v_i$,都有$10^5$件.给定$m(m\leqslant10^5)$,对于$s\in [1,m]$,请你回答用这些商 ...
- P4389 付公主的背包
注意 初始化的时候要这样写 for(int i=1,x;i<=n;i++){ scanf("%d",&x); v[x]++; } for(int i=1;i<= ...
- LuoguP4389 付公主的背包【生成函数+多项式exp】
题目背景 付公主有一个可爱的背包qwq 题目描述 这个背包最多可以装10^5105大小的东西 付公主有n种商品,她要准备出摊了 每种商品体积为Vi,都有10^5105件 给定m,对于s\in [1,m ...
- Luogu4389 付公主的背包(生成函数+多项式exp)
显然构造出生成函数,对体积v的物品,生成函数为1+xv+x2v+……=1/(1-xv).将所有生成函数乘起来得到的多项式即为答案,设为F(x),即F(x)=1/∏(1-xvi).但这个多项式的项数是Σ ...
- LOJ6077「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对 (生成函数+多项式exp?朴素DP!)
题面 给定 n , k n,k n,k ,求长度为 n n n 逆序对个数为 k k k 的排列个数,对 1 e 9 + 7 \rm1e9+7 1e9+7 取模. 1 ≤ n , k ≤ 100 ...
随机推荐
- 如果服务器数据更新了,CDN的数据是怎么及时更新的
A:cdn一般用来存静态资源.拿网站来说,当用户访问网站时静态资源从cdn加载.cdn向后段源服务器请求资源并缓存,这个请求过程是周期性的,自动的,称为回源. 当你更新了一个文件,现在正巧还没到cdn ...
- 在PyQt中构建 Python 菜单栏、菜单和工具栏
摘要:菜单.工具栏和状态栏是大多数GUI 应用程序的常见且重要的图形组件.您可以使用它们为您的用户提供一种快速访问应用程序选项和功能的方法. 本文分享自华为云社区<Python 和 PyQt:创 ...
- 如何打一个RPM包
如何打一个RPM包 参考链接:RPM打包原理.示例.详解及备查 前言 本文只是一个RPM安装的例子,并没有对RPM做比较详尽的叙述,更为详尽的讲解,可以在上面的链接中找到. RPM是啥? RPM(Re ...
- MySQL案例:一次单核CPU占用过高问题的处理
客户现场反馈,top的检查结果中,一个CPU的占用一直是100%.实际上现场有4个CPU,而且这个服务器是mysql专属服务器. 我的第一反应是io_thread一类的参数设置有问题,检查以后发现re ...
- linux 查看用户密码
2021-07-26 1.查看前三个密码 head -3 / etc / passwd # 注解 /etc/passwd 中一行记录对应着一个用户,每行记录又被冒号 (:) 分隔为 7 个字段,其格式 ...
- Python面向对象编程及内置方法
在程序开发中,要设计一个类,通常需要满足以下三个要求: [1]类名 这类事物的名字,满足大驼峰命名法 [2]属性 这类事物具有什么样的特征 [3]方法 这类事物具有什么样的行为 定义简单的类: 定义只 ...
- (一)Superset 1.3图表篇——Table
本系列文章基于Superset 1.3.0版本.1.3.0版本目前支持分布,趋势,地理等等类型共59张图表.本次1.3版本的更新图表有了一些新的变化,而之前也一直没有做过非常细致的图表教程. 而且目前 ...
- [考试总结]noip模拟39
不写那么多没用的了 开题就发现 \(T4\) 原题, \(T1\) 大水题. 然后发现 \(T4\) 忘了.... 不扯了 打地鼠 大水题,我代码都不想放... 算了,还是放一下吧.. #includ ...
- Jenkins(7)- 解决Linux下忘记Jenkins密码
如果想从头学起Jenkins的话,可以看看这一系列的文章哦 https://www.cnblogs.com/poloyy/category/1645399.html admin密码未更改情况下 进入\ ...
- Identity用户管理入门七(扩展用户字段)
在实际使用时会发现很多字段在IdentityUser中并不存在,比如增加生日,地址等字段,可在模型类中实现自己的模型并继承自IdentityUser,需要修改的代码为以下类 一.新增模型 using ...