正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4389


题目大意

\(n\)种物品,第\(i\)种大小为\(v_i\),数量无限。对于每个\(s\in[1,m]\)求刚好填满\(s\)容量的方案数。

\(1\leq n,m\leq 10^5\)


解题思路

统计和为一定值的方案数,好像可以生成函数做?

每种物品大小\(v\)有一个生成函数

\[F(x)=\sum_{i\geq 0}x^{i\times v}=\frac{1}{1-x^v}
\]

然后所有生成函数乘起来就好了,但这样是\(O(n^2\log n)\)的比暴力还慢...

乘起来比较慢,如果\(ln\)之后改成加法就好了,但是\(ln\)也是\(O(n)\)的。不过我们的式子比较特殊,对于\(ln\)之后求个导就会有神器的结果

\[ln'(1-x^v)=\frac{(1-x^v)'}{1-x^v}=\frac{-v\times x^{v-1}}{1-x^v}
\]
\[=-v\sum_{i\geq 0}x^{v-1+v\times i}
\]

然后在积分回去就是

\[-\sum_{i\geq 0}\frac{x^{v+v\times i}}{i}=-\sum_{i\geq 1}\frac{x^{v\times i}}{i}
\]

然后记录每个大小的物品出现了多少次,之后\(O(m\log m)\)加系数,然后再\(exp+\)求逆回去就好了。

时间复杂度\(O(n+m\log m)\)


code

  1. #include<cstdio>
  2. #include<cstring>
  3. #include<algorithm>
  4. #define ll long long
  5. using namespace std;
  6. const ll N=4e5+10,P=998244353;
  7. ll n,c,l,r[N],f[N],v[N],inv[N];
  8. ll t1[N],t2[N],t3[N],t4[N],t5[N],t6[N];
  9. ll power(ll x,ll b){
  10. ll ans=1;
  11. while(b){
  12. if(b&1)ans=ans*x%P;
  13. x=x*x%P;b>>=1;
  14. }
  15. return ans;
  16. }
  17. void Glen(ll m){
  18. n=1;while(n<=m)n<<=1;
  19. for(ll i=0;i<n;i++)
  20. r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);
  21. return;
  22. }
  23. void NTT(ll *f,ll op){
  24. for(ll i=0;i<n;i++)
  25. if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
  26. for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
  27. ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);
  28. if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
  29. for(ll k=0;k<n;k+=p){
  30. ll buf=1;
  31. for(ll i=k;i<k+len;i++){
  32. ll tt=f[i+len]*buf%P;
  33. f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
  34. f[i]=(f[i]+tt)%P;
  35. buf=buf*tmp%P;
  36. }
  37. }
  38. }
  39. if(op==-1){
  40. ll inv=power(n,P-2);
  41. for(ll i=0;i<n;i++)
  42. f[i]=f[i]*inv%P;
  43. }
  44. return;
  45. }
  46. void GetInv(ll *f,ll *g,ll m){
  47. if(m==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}
  48. GetInv(f,g,m>>1);Glen(m);
  49. for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=f[i],t2[i]=g[i];
  50. NTT(t1,1);NTT(t2,1);
  51. for(ll i=0;i<n;i++)
  52. t1[i]=t1[i]*t2[i]%P*t2[i]%P;
  53. NTT(t1,-1);
  54. for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(g[i]*2-t1[i]+P)%P;
  55. for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t2[i]=0;
  56. return;
  57. }
  58. void GetD(ll *f,ll *g,ll n){
  59. for(ll i=0;i<n-1;i++)
  60. g[i]=f[i+1]*(i+1)%P;
  61. g[n-1]=0;return;
  62. }
  63. void GetJ(ll *f,ll *g,ll n){
  64. for(ll i=n-1;i>0;i--)
  65. g[i]=f[i-1]*power(i,P-2)%P;
  66. g[0]=0;return;
  67. }
  68. void GetLn(ll *f,ll *g,ll m){
  69. Glen(m);GetD(f,t3,n);GetInv(f,t4,n);
  70. Glen(m);Glen(n);NTT(t3,1);NTT(t4,1);
  71. for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t3[i]*t4[i];
  72. NTT(t3,-1);GetJ(t3,g,n);
  73. for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t4[i]=0;
  74. return;
  75. }
  76. void GetExp(ll *f,ll *g,ll m){
  77. if(m==1){g[0]=1;return;}
  78. GetExp(f,g,m>>1);GetLn(g,t5,m);Glen(m);
  79. for(ll i=0;i<m;i++)t6[i]=f[i];
  80. for(ll i=m;i<n;i++)t5[i]=0;
  81. NTT(t5,1);NTT(t6,1);NTT(g,1);
  82. for(ll i=0;i<n;i++)g[i]=g[i]*(1-t5[i]+t6[i]+P)%P;
  83. NTT(g,-1);for(ll i=m;i<n;i++)g[i]=0;
  84. return;
  85. }
  86. signed main()
  87. {
  88. scanf("%lld%lld",&c,&l);inv[1]=1;
  89. for(ll i=2;i<N;i++)
  90. inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;
  91. for(ll i=1;i<=c;i++){
  92. ll x;scanf("%lld",&x);
  93. v[x]++;
  94. }
  95. Glen(l);
  96. for(ll i=l;i>=1;i--){
  97. ll w=v[i];v[i]=0;
  98. for(ll j=i;j<n;j+=i)
  99. (v[j]+=w*(P-inv[j/i])%P)%=P;
  100. }
  101. ll p=n;GetExp(v,f,n);
  102. for(ll i=0;i<n;i++)v[i]=0;
  103. GetInv(f,v,n);
  104. for(ll i=1;i<=l;i++)
  105. printf("%lld\n",v[i]);
  106. return 0;
  107. }

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