【LG5444】[APIO2019]奇怪装置

【LG5444】[APIO2019]奇怪装置

题面

洛谷

题目大意：

给定\(A,B\)，对于\(\forall t\in \mathbb N\)，有二元组\((x,y)=((t+\lfloor\frac tB\rfloor)\bmod A,t\bmod B)\)。

对于给定的\(n\)个区间\([l,r]\)，要你求出\(t\in [l_1,r_1]\bigcup [l_2,r_2]...\bigcup [l_n,r_n]\)对应有多少个不同的二元组。

数据范围：

\(1\leq n\leq 10^6,1\leq A,B\leq 10^{18},0\leq l_i\leq r_i\leq 10^{18}\)。

题解

你首先要考虑到这种问题是有个循环节的 否则就会像我一样得到10分

设\(t_1<t_2\)所对应的二元组完全相同，那么

\[\begin{cases}
t_1+\lfloor\frac{t_1}{B} \rfloor \equiv t_2 + \lfloor \frac{t_2}{B} \rfloor(\bmod A)\\
t_1\equiv t_2(\bmod B)
\end{cases}
\]

那么根据第二个条件，我们不妨令$$t_1+kB=t_2,k\in \mathbb N$$

那么带到第一个式子中就是：

\[t_1+\lfloor\frac{t_1}{B}\rfloor\equiv t_1+kB+k+\lfloor\frac{t_1}{B}\rfloor(\bmod A)
\]

化简得：$$k(B+1)\equiv 0(\bmod A)$$

\(\therefore \frac{A}{gcd(A,B+1)}|k\)，即\(k\)最小为\(\frac{A}{gcd(A,B+1)}\)。

那么循环节\(T=kB=\frac{AB}{gcd(A,B+1)}\)。

然后对于所有\([l,r]\)就可以转化为线段覆盖了，想怎么维护都行。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll gi() {
    register ll data = 0, w = 1;
    register char ch = 0;
    while (!isdigit(ch) && ch != '-') ch = getchar();
    if (ch == '-') w = -1, ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) data = 10 * data + ch - '0', ch = getchar();
    return w * data;
}
const int MAX_N = 1e6 + 5;
ll N, A, B, l[MAX_N], r[MAX_N], T, ans;
multiset<pair<ll, int> > st;
void Add(ll l, ll r) { st.insert(make_pair(l, 1)), st.insert(make_pair(r + 1, -1)); }
int main () {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("cpp.in", "r", stdin);
#endif
	N = gi(), A = gi(), B = gi(); ll d = __gcd(A, B + 1), sum = 0;
	for (int i = 1; i <= N; i++) l[i] = gi(), r[i] = gi(), sum += r[i] - l[i] + 1;
	if (1.0 * A / d * B > 1e18) return printf("%lld\n", sum) & 0;
	T = A / d * B;
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		if (r[i] - l[i] + 1 >= T) return printf("%lld\n", T) & 0;
		l[i] %= T, r[i] %= T;
		if (l[i] > r[i]) Add(l[i], T - 1), Add(0, r[i]);
		else Add(l[i], r[i]);
	}
	st.insert(make_pair(T, 0));
	ll lst = -1, c = 0;
	for (auto it : st) {
		if (c > 0) ans += it.first - lst;
		c += it.second, lst = it.first;
	}
	printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}