【牛客提高训练营2B】分糖果

题目

发现自己一年之前非常垃圾

题目大意是给你一个\(n\)个点的环，给每个点一个\([1,a_i]\)的取值，并且满足环上任意相连两点权值不能相等，求方案数

考虑断环为链，发现不大会

不妨考虑所有\(a_i\)均相等的情况，设\(m=a_i\)

对于第一个点，有\(m\)种选择，其后每一个点的取值都不能和上一个相等，即\(m-1\)种选择，于是整个环就是\(m(m-1)^{n-1}\)

吗？

显然不是，这样我们不能保证\(1\)号点和\(n\)号点的取值不相等。设\(f_i\)表示\(1\)号点恰好和\(n-i+1\)到\(n\)号点取值相等的情况，我们算的\(m(m-1)^{n-1}\)其实等于\(f_0+f_1\)

考虑如何消掉\(f_1\)，我们可以强行将\(n\)和\(1\)取值相同，其余点还是不能和前一个点取值相等，方案数是\(m(m-1)^{n-2}=f_1+f_2\)；更一般的\(m(m-1)^{n-i}=f_{i-1}+f_i\)，但是有一个特殊情况，即\(m(m-1)=f_{n-2}\)，即让\(3\)号点到\(n\)号点都和\(1\)号点取值相等，这样\(2\)号点和\(1\)不相同自然就不会和后面的点相同。

我们要求的是\(f_0\)，我们发现\(f_0+f_1-(f_1+f_2)+f_2+f_3-....-f_{n-2}+f_{n-2}=f_0\)，即我们配一个\(-1\)的容斥系数即能求出\(f_0\)。

于是我们利用这个容斥就能断环为链，所以我们来考虑更一般的链上问题，即\(a_i\)不同的情况。

有一个显然的暴力\(dp\)，设\(dp_{i,j}\)表示第\(i\)个点取值为\(j\)的方案数，\(s_i=\sum_{j=1}^{a_i}dp_{i,j}\)，转移显然有\(dp_{i,j}=s_{i-1}-dp_{i-1,j}\)

由于我们的容斥本质上是使得最后连续的一段和\(1\)取值相等，这一段连续的取值受限于这一段中\(a_i\)的最小值，于是我们不妨选一个\(a_i\)最小的点作为一号点，这样每次\(dp\)的初值就不会改变，只需做一次\(dp\)即可。

考虑优化这个\(dp\)

当\(a_i>a_{i-1}\)的时候，对于\(\forall j\in [1,a_{i-1}]\)有\(dp_{i,j}=s_{i-1}-dp_{i-1,j}\)；当\(j>a_{i-1}\)的时候，由于\(dp_{i-1,j}=0\)，所以对于\(j\in(a_{i-1},a_i]\)有\(dp_{i,j}=s_{i-1}\)

当\(a_{i}<a_{i-1}\)的时候，对于\(\forall j\in [1,a_{i}]\)有\(dp_{i,j}=s_{i-1}-dp_{i-1,j}\)；当\(j>a_i\)的时候，则有\(dp_{i,j}=0\)

不难发现这几个转移我们只需要一个能够支持区间取反、区间加以及区间覆盖的数据结构就能维护，于是直接使用线段树来整体dp即可。

由于\(a_i\)比较大，所以得动态开点，复杂度是\(O(n\log a_i)\)只能有\(80pts\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("-fcse-skip-blocks")
inline int read() {
	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int mod=1e9+7;
const int M=7e7+5;
const int maxn=1e6+5;
int n,a[maxn],f[maxn],b[maxn],pos,mx,rt;
inline int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
int l[M],r[M],gt[M],jt[M],sum[M],cnt;
bool ft[M];
inline void pushdown(int now,int lx,int ry) {
	int mid=lx+ry>>1;
	int lenl=mid-lx+1,lenr=ry-mid;
	if(gt[now]!=-1) {
		if(!l[now]) l[now]=++cnt;
		if(!r[now]) r[now]=++cnt;
		gt[l[now]]=gt[r[now]]=gt[now];
		sum[l[now]]=1ll*gt[now]*lenl%mod;
		sum[r[now]]=1ll*gt[now]*lenr%mod;
		ft[l[now]]=ft[r[now]]=jt[l[now]]=jt[r[now]]=0;
		gt[now]=-1;
	}
	if(ft[now]) {
		if(!l[now]) l[now]=++cnt;
		if(!r[now]) r[now]=++cnt;
		ft[l[now]]^=1;ft[r[now]]^=1;
		sum[l[now]]=qm(mod-sum[l[now]]);
		sum[r[now]]=qm(mod-sum[r[now]]);
		jt[l[now]]=qm(mod-jt[l[now]]);
		jt[r[now]]=qm(mod-jt[r[now]]);
		ft[now]=0;
	}
	if(jt[now]) {
		if(!l[now]) l[now]=++cnt;
		if(!r[now]) r[now]=++cnt;
		sum[l[now]]=qm(sum[l[now]]+1ll*jt[now]*lenl%mod);
		sum[r[now]]=qm(sum[r[now]]+1ll*jt[now]*lenr%mod);
		jt[l[now]]=qm(jt[l[now]]+jt[now]);
		jt[r[now]]=qm(jt[r[now]]+jt[now]);
		jt[now]=0;
	}
}
int gan(int now,int x,int y,int lx,int ry,int v) {
	if(!now) now=++cnt,gt[now]=-1;
	if(x<=lx&&y>=ry) {
		sum[now]=1ll*v*(ry-lx+1)%mod;
		gt[now]=v;ft[now]=0;jt[now]=0;
		return now;
	}
	pushdown(now,lx,ry);
	int mid=lx+ry>>1;
	if(x<=mid) l[now]=gan(l[now],x,y,lx,mid,v);
	if(y>mid) r[now]=gan(r[now],x,y,mid+1,ry,v);
	sum[now]=qm(sum[l[now]]+sum[r[now]]);
	return now;
}
int jia(int now,int x,int y,int lx,int ry,int v) {
	if(!now) now=++cnt,gt[now]=-1;
	if(x<=lx&&y>=ry) {
		sum[now]=qm(sum[now]+1ll*v*(ry-lx+1)%mod);
		jt[now]=qm(jt[now]+v);
		return now;
	}
	pushdown(now,lx,ry);
	int mid=lx+ry>>1;
	if(x<=mid) l[now]=jia(l[now],x,y,lx,mid,v);
	if(y>mid) r[now]=jia(r[now],x,y,mid+1,ry,v);
	sum[now]=qm(sum[l[now]]+sum[r[now]]);
	return now;
}
int qufan(int now,int x,int y,int lx,int ry) {
	if(!now) now=++cnt,gt[now]=-1;
	if(x<=lx&&y>=ry) {
		sum[now]=qm(mod-sum[now]);
		ft[now]^=1;jt[now]=qm(mod-jt[now]);
		return now;
	}
	pushdown(now,lx,ry);
	int mid=lx+ry>>1;
	if(x<=mid) l[now]=qufan(l[now],x,y,lx,mid);
	if(y>mid) r[now]=qufan(r[now],x,y,mid+1,ry);
	sum[now]=qm(sum[l[now]]+sum[r[now]]);
	return now;
}
int main() {
	n=read();
	for(re int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	pos=1;for(re int i=2;i<=n;i++) if(a[i]<a[pos]) pos=i;
	for(re int i=1;i<=n;i++) {
		b[i]=a[pos++];
		if(pos>n) pos=1;
	}
	for(re int i=1;i<=n;i++) mx=max(mx,a[i]);
	f[1]=b[1];rt=gan(rt,1,b[1],1,mx,1);
	for(re int i=2;i<=n;++i) {
		if(b[i-1]<b[i]) {
			rt=qufan(rt,1,b[i-1],1,mx);
			rt=jia(rt,1,b[i],1,mx,f[i-1]);
		}
		else {
			rt=qufan(rt,1,b[i],1,mx);
			rt=jia(rt,1,b[i],1,mx,f[i-1]);
			if(b[i]+1<=b[i-1]) rt=gan(rt,b[i]+1,b[i-1],1,mx,0);
		}
		f[i]=sum[rt];
	}
	int ans=0;
	for(re int i=n;i>=2;--i)
	if((n-i+1)&1) ans=qm(ans+f[i]);
		else ans=qm(ans-f[i]+mod);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

正解也就是容斥+dp，但是容斥方法好像不太一样，就直接丢链跑了

正解