【HDU2089】不要62

题目大意：求区间 [n,m] 中数位不包含 4 和 62 的数字的个数。

题解：数位dp。

预处理出 \(f[i][j]\) 表示 i 位数字中以 j 为第一位的满足条件的数字个数。

对于统计答案来说采用前缀和相减的方式，即：统计出 [0,m] 中有多少满足条件的数减去 [0,n-1] 中满足条件的数字个数即可。

对于求 [0,n] 中满足条件的个数来说，将原问题划分为若干子问题，每个子问题为从第 i 位开始小于 n 的合法数字的个数，显然划分出的子问题不重不漏，因此子问题的方案数的累加即是原问题的方案数。

注意：根据子问题划分可以发现，统计出来的方案数是小于 n 的方案数，即：不包括 n。因此，前缀和相减时要注意是 g[0,m+1] - g[0,n]，g 为统计出的方案数。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m,f[8][10],digit[10],tot;

void init(){
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=7;i++)
		for(int j=0;j<=9;j++)
			for(int k=0;k<=9;k++)
				if(j!=4&&!(j==6&&k==2))
					f[i][j]+=f[i-1][k];
}
inline void get(int x){
	tot=0;
	memset(digit,0,sizeof(digit));
	while(x)digit[++tot]=x%10,x/=10;
}
int calc(int x){
	get(x);
	int ret=0;
	for(int i=tot;i;i--){
		for(int j=0;j<digit[i];j++)
			if(j!=4&&!(j==2&&digit[i+1]==6))
				ret+=f[i][j];
		if((digit[i]==2&&digit[i+1]==6)||digit[i]==4)break;
	}
	return ret;
}

int main(){
	init();
	while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m){
		printf("%d\n",calc(m+1)-calc(n));
	}
	return 0;
}

update on 5.25

数位 dp 的迭代版本细节过多，因此斟酌之后，目前采用递归版。

递归版需要注意的点如下：

• 递归到边界处意味着生成了一个合法的数字，需要返回数字对答案的贡献。
• 递归版本的 dp 值个人感觉没有迭代版本的 dp 含义清晰，不过 dp 的定义一定要保证和搜索框架中传入的参数个数相等，除了 limit 和 lead 位。
• 在判断是否有前导零的时候，尽量在每种情况中讨论符合情况的转移，即：不要将转移的判断条件写在所有转移的前面，这样可能会导致丢解漏解。
• 递归版的优势在于可以很好地处理前导零问题，以及得到的解是区间 [1,n] 的解，与迭代版 [1,n) 不同。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[10][10];
int digit[10],tot;

int dfs(int cur,int pre,bool lead,bool limit){
    if(!cur)return 1;
    if(!lead&&!limit&&dp[cur][pre]!=-1)return dp[cur][pre];
    int ret=0;
    int bit=limit?digit[cur]:9;
    for(int i=0;i<=bit;i++){
        if(i==4||(pre==6&&i==2))continue; // 尽量不要将判断条件写在这里，应写在下面每个判断语句中（懒得改了这里
        if(!i&&lead)ret+=dfs(cur-1,i,1,limit&&i==bit);
        else ret+=dfs(cur-1,i,0,limit&&i==bit);
    }
    if(!limit&&!lead)dp[cur][pre]=ret;
    return ret;
}

int part(int x){
    tot=0;
    memset(digit,0,sizeof(digit));
    do{
        digit[++tot]=x%10;
        x/=10;
    }while(x);
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    return dfs(tot,0,1,1);
}

int main(){
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n+m){
        printf("%d\n",part(m)-part(n-1));
    }
    return 0;
}