☆ [HDU2089] 不要62「数位DP」

类型：数位DP

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题意：问区间$[n,m]$的数字中，不含4以及62的数字总数

解题思路

数位DP入门题

先考虑一般的暴力做法，整个区间扫一遍，判断每个数是否合法并累计答案。而数位DP则认为可以换一种方法来枚举，找到对于一个数的上限，然后在这个限度内枚举每一个数位来统计答案

为了方便数位DP，题意可以转化求区间$[0, k]$的符合要求的数字总数，因此答案就是$ans(M)-ans(N-1)$

首先我们可以预处理出dp数组：$dp[i][j]$表示以$j$开头的$i$位数的符合要求的数字总数；例如，$dp[2][3]$表示以3开头的2位数中符合要求的，也就是区间$[30, 39]$中符合要求的。$$dp[i][j] = \sum\limits_{0 \leq k \leq 9 \\ \ k \neq 4}dp[i-1][k]$$这个方程很好理解，相当于枚举一个数位塞到前面，同时需要保证不能把6塞当2前面，并且特判一下4就好了

至于统计答案，我们从上限的最高位开始往下扫描。这里有个很巧妙的思想——每次处理不超过当前这一位的部分。形象地说，对于数字$21358$，最高位扫描$0~1$，也就是把答案累积上$dp[5][0~1]$。这一步相当于处理了区间$[0, 19999]$中的所有；此时默认最高位是2，扫描到下一位，累积$dp[4][0~0]$，也就相当于处理了区间$[20000,20999]$；依次类推，然后将会处理$[21000,21299]$，$[21300,21349]$，$[21350,21357]$。因此我们可以在$O(lg N * 10)$的复杂度内处理区间$[0, N-1]$。（注意不包括N）$$ans = \sum\limits_{i=num}^{1}\sum\limits_{j=0}^{digit[i]-1}dp[i][j]$$

然后在来看判断62和4的问题：每当我们进入到下一位，我们就将默认上一位确定。此时若确定的那一位为4，那么之后的都不用考虑了（一定不合法）。同理，如果当前确定的为2且上一位确定的为6，那么也可以跳出。事实上，这个跳出不是优化，而是必须那么做——如果不跳出，就会错误地累积很多答案。同时，不仅进入下一位的时候要判断，扫描的时候也要判断。道理一样

拓展：如果题目要求的不是【不要62】而是【要62】呢？就好像[HDU3555] Bomb所要求的一样，只需要求出所有的【不要62】数字，用N减一下就好了

Code

特别需要注意的是$digit[num+1]==0$这一步的处理，如果不加这一步，那么如果在处理前一个数字时残留下了$digit[num+1]==6$，那么你的程序将不能在最高位填充2了！

另外还有dp数组的初始化问题：一种是$dp[0][0]=1$，或者对于所有$i \neq 4$，$dp[1][i]=1$。其实这两者是等效的，因为在统计$dp[1][i]$时，只会累积到$dp[0][0]$为1

/*By DennyQi 2018.8.13*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define  r  read()
#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = ;
const int MAXM = ;
const int INF = ;
inline int read(){
    int x = ; int w = ; register int c = getchar();
    while(c ^ '-' && (c < '' || c > '')) c = getchar();
    if(c == '-') w = -, c = getchar();
    while(c >= '' && c <= '') x = (x << ) + (x << ) + c - '', c = getchar(); return x * w;
}
int N,M,num,X,Y;
int dp[][],digit[];
inline void Init(){
    dp[][] = ;
    for(int i = ; i <= ; ++i){
        for(int j = ; j <= ; ++j){
            if(j == ) continue;
            for(int k = ; k <= ; ++k){
                if(k ==  && j == ) continue;
                dp[i][j] += dp[i-][k];
            }
        }
    }
}
inline int cul(int x){
    num = ;
    int y = x, res = ;
    while(y > ){
        digit[++num] = y % ;
        y /= ;
    }
    digit[num+] = -;
    for(int i = num; i >= ; --i){
        for(int j = ; j < digit[i]; ++j){
            if(digit[i+] ==  && j == ) continue;
            res += dp[i][j];
        }
        if(digit[i] ==  || (digit[i+]==&&digit[i]==)) break;
    }
    return res;
}
int main(){
    Init();
    for(;;){
        N = r, M = r;
        if(!N && !M) break;
        printf("%d\n",cul(M+)-cul(N));
    }
    return ;
}