CodeForces 1198D 1199F Rectangle Painting 1
Time limit 1000 ms
Memory limit 262144 kB
解题思路
一堆循环嵌套的那种dp,不好想。但是可以搜啊,很暴力的。记忆化一下就好。
我们定义搜索函数\(\text{search}(x1,y1,x2,y2)\),代表将矩形区域\([x1,x2]\)、\([y1,y2]\)内部全部染白的最小代价。
我们可以知道,如果这个区域内全白,那么代价显然就是0。
如果全黑,那么不妨一次性全部染白,拆开成几个小的矩形并分别染色不会使结果更优。证明(其他大小的矩形可以类比):\(3\times10\) 的全黑矩形,一整个矩形一起染的代价是 \(\max(3,10)=10\) ——
- 如果我们将长边10拆开
- 如果拆出来的新矩形的短边大于等于3,比如拆成两个\(3\times5\)的,那么代价还是\(5+5=10\),拆成三份\(3\times4\)、\(3\times3\)和\(3\times3\),那么代价还是\(4+3+3=10\)。总之它们的代价没有下降。
- 如果拆分更小一些,短边小于了3,比如拆成\(3\times2\)和\(3\times8\)两个,那完蛋了,代价 \(3+8=11\),反而增大了,拆得越细增大越多。
- 如果我们将短边3拆开
- 完了,拆成两份代价就变成两倍(\(1\times10\)和\(2\times10\),代价是 \(10+10=20\)),拆成3份代价就变成3倍
综上,全黑的矩形我们就不拆了,直接染,又快又对。
下面是来自Neil的证明(感觉这个才叫证明)
假定存在拆分成k个小矩形可以达到更优解,那么这k个矩形要至少覆盖整个大矩形
那么小矩形们就一定存在某些边,边长之和要等于大矩形的最长边(要覆盖满)。
- 如果这些边全是各自小矩形的最长边,那么答案不变
- 如果这些边里有些边不是所属矩形的最长边,那么答案增加
为了快速知道一个矩形是不是全白或者全黑,我们使用二维前缀和。
那么黑白相间的那种呢?
首先我们可以直接一整个地染,当然肯定会有浪费,那么我们就尝试拆开染。
我们可以把矩形拆成上下两个,也可以拆成左右两个,假设矩阵大小为\(x\times y\),那么总共就有\((x-1)+(y-1)\)种拆分方式。
对于每个拆出来的子矩阵,我们可以继续拆,也就是递归搜索子矩阵,知道子矩阵全黑或者全白就返回,这个过程记忆化记录结果。
时间复杂度嘛,我们要把记忆化搜索用到的表填满(表中总共\(n^4\)个空格),填表每一格的时候用时,最坏大概是小矩形的边长相加(拆分矩阵方式的种数,大概\(O(n)\)?这里我有点怀疑……先留坑),。因为记忆化搜索,那些小矩形的答案最多就求一次,不管是大矩形拆下去求到小矩形还是先求小矩形,再求大矩形,这两种复杂度都差不多,所以我们可以认为,把大矩形拆小了可以\(O(1)\)得到答案。综合起来就是\(O(n^5)\)。
另外,这场CF的div1还有一个这题的升级版,n是\(10^9\),总共有不超过\(50\)个黑格子,染色代价是矩形边长的最小值,拿网络流求,留坑可能不填了。
源代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
int n;
bool mp[54][54];
int sum[54][54];//二维前缀和
int dp[54][54][54][54];
void input()
{
scanf("%d",&n);
char s[54];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%s",s+1);
for(int j=1;j<=n;j++)
{
mp[i][j]=(s[j]=='#');
sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+(int)mp[i][j];
}
}
memset(dp,-1,sizeof(dp));
}
inline int quesum(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
x1--;y1--;
return sum[x2][y2]-sum[x2][y1]-sum[x1][y2]+sum[x1][y1];
}
int calc(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
if(~dp[x1][y1][x2][y2]) return dp[x1][y1][x2][y2];
dp[x1][y1][x2][y2]=std::max(x2-x1+1,y2-y1+1);
int s=quesum(x1,y1,x2,y2);
if(s==(x2-x1+1)*(y2-y1+1)) return dp[x1][y1][x2][y2];
else if(!s) return dp[x1][y1][x2][y2]=0;//全空
for(int i=x1;i<x2;i++)//按x分割
{
dp[x1][y1][x2][y2]=std::min(dp[x1][y1][x2][y2],calc(x1,y1,i,y2)+calc(i+1,y1,x2,y2));
}
for(int i=y1;i<y2;i++)//按y分割
{
dp[x1][y1][x2][y2]=std::min(dp[x1][y1][x2][y2],calc(x1,y1,x2,i)+calc(x1,i+1,x2,y2));
}
return dp[x1][y1][x2][y2];
}
int main()
{
input();
printf("%d\n",calc(1,1,n,n));
return 0;
}
CodeForces 1198D 1199F Rectangle Painting 1的更多相关文章
- Codeforces - 1198D - Rectangle Painting 1 - dp
https://codeforces.com/contest/1198/problem/D 原来是dp的思路,而且是每次切成两半向下递归.好像在哪里见过类似的,貌似是紫书的样子. 再想想好像就很显然的 ...
- Codeforces #576 Rectangle Painting 1 | div1D | div2F | DP | Rustlang
原题链接 大意 n*n正方形 有黑有白 每次可以选择一个 矩形把它全变成白色,代价是max(长,宽) 求吧 整个正方形 全变白 的最小代价 数据范围 n <= 50 题解 首先如果 我们刷了两个 ...
- Codeforces 1198E Rectangle Painting 2 最小点覆盖(网络流)
题意:有一个n * n的棋盘,每个棋盘有某些矩形区域被染成了黑色(这些矩形区域有可能相交),问把所有黑色区域染成白色的最小花费是多少?你每次可以选择把一个矩形区域染成白色,花费是染色的矩形区域长和宽的 ...
- codeforces 1198E Rectangle Painting 2 最小点覆盖
题目传送门 题意: 有一个$n∗n$的网格,网格中有一些矩形是黑的,其他点都是白的. 你每次可以花费$ min (h,w)$的代价把一个$h*w$的矩形区域变白.求把所有黑格变白的最小代价. 思路: ...
- Codeforces Gym 100015B Ball Painting 找规律
Ball Painting 题目连接: http://codeforces.com/gym/100015/attachments Description There are 2N white ball ...
- codeforces 675B B. Restoring Painting(暴力枚举)
题目链接: B. Restoring Painting time limit per test 1 second memory limit per test 256 megabytes input s ...
- CodeForces 135 B. Rectangle and Square(判断正方形和 矩形)
题目:http://codeforces.com/problemset/problem/135/B 题意:给8个点 判断能否用 4个点构成正方形,另外4个点构成 矩形. 输出 第一行是正方形 ,第二行 ...
- Educational Codeforces Round 61 Editorial--C. Painting the Fence
https://codeforces.com/contest/1132/problem/C 采用逆向思维,要求最大的覆盖,就先求出总的覆盖,然后减去删除两个人贡献最少的人 #include<io ...
- codeforces 256 div2 C. Painting Fence 分治
C. Painting Fence time limit per test 1 second memory limit per test 512 megabytes input standard in ...
随机推荐
- [Mac Terminal] ___切换到其他路径和目录
如果你想将当前 command line 会话切换到其他目录,需要用到三个命令:pwd,ls和cd. pwd的含义是“print working directory”,会显示当前目录的绝对路径.ls的 ...
- 【Linux开发】jpeglib使用指南
您可以到www.ijg.org网站下载libjpeg的源码, IJG JPEG Library就是jpeg压缩库,是以源码的形式提供给软件开发人员的,当然在软件包里也有编译好的库文件,我们这里就只用到 ...
- java中的命名规则
转载自:http://growstep.diandian.com/post/2011-08-17/3989094 1.类名首字母应该大写.属性(成员变量).方法.对象变量以及所有标识符(如形式参数.实 ...
- 为什么 Java 线程没有 Running 状态?
Java虚拟机层面所暴露给我们的状态,与操作系统底层的线程状态是两个不同层面的事.具体而言,这里说的 Java 线程状态均来自于 Thread 类下的 State 这一内部枚举类中所定义的状态: 什么 ...
- JS中同步与异步
不讲过多定义,举两个例子说明下 例一: console.log(100); setTimeout(function(){ console.log(200); },1000); console.log( ...
- 题解 AT1877 【回文分割】
题意:给定一个字符串 s,将 s 分割成一些子串,使每个子串都是回文串. 返回 s 所有可能的分割方案. 示例: 输入:aab 输出:3 解释:aba 思路: 记录字符串中每个字符出现的次数si 如果 ...
- Thinkphp3.2 Redis支持REDIS_AUTH验证
原有的Redis类在Library/Think/Cache/Driver/中 换成下面的: <?php // +----------------------------------------- ...
- 思维体操: HDU1049Climbing Worm
Climbing Worm Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) To ...
- Windows系统如何安装Redis
转自 http://blog.csdn.net/lamp_yang_3533/article/details/52024744 一.Redis的下载地址 Redis官方并没有提供Redis的windo ...
- 虚拟机的网卡基本配置和基本linux命令
1.切换到/etc/sysconfig/network-script目录 cd /etc/sysconfig/network-scripts 2.将ifcfg-eth0备份成ifcfg-eth0. c ...