Codeforces #576 Rectangle Painting 1 | div1D | div2F | DP | Rustlang

原题链接

大意

n*n正方形 有黑有白

每次可以选择一个 矩形把它全变成白色，代价是max(长,宽)

求吧 整个正方形 全变白 的最小代价

数据范围

n <= 50

题解

首先如果 我们刷了两个有相邻边或重叠的 白色矩形

那么 假设他们的代价分别为 x和y

那么 一定有 一个 边长为x+y的正方形 完全覆盖了这两个白色矩形

dis|row| <= rowX+roxY <= costX+costY = x+y

dis|col| <= colX+roxY <= costX+costY = x+y

所以综上所述 两两不重叠

再来，证明 如果 最优结果要么选择的单一矩形，要么一定能 垂直 或水平分化,即是 不会出现类似 弦图 这样的分化

假设存在，那么意味这有n*m的矩形，和对应选择多个图画方案，使得

1. 图画方案是最优的
2. 子选择矩形个数大于1
3. 不存在按竖着 分化,或横着分化，使得子选择被分开

对于横向来看，意味着任意选择分割线 都会和最优解的选择中的矩形的横着的边冲突，

也就意味着，从min横向点 到 max横向点，所有点都有边。

即是，从横向看 最优解的 cost 横向 >= (max横向点-min横向点)

由对称性，从纵向看 最优解的 cost 纵向 >= (max纵向-min纵向点)

那么我们直接用 相应的大矩形(max横向点-min横向点,max纵向-min纵向点) 从面积上覆盖 最优解答

即

大矩形 cost (从覆盖关系，和最优解答定义)>= 最优解答cost (根据横向和纵向边的关系)>= 大矩形cost

综上

1. 没有重叠 至多相邻
2. 要么 单一选择的矩形(如大矩形)，要么可纵向 或 可横向分割

所以

dp[top i0 -> bottom i1][left j0 -> right j1]
=min(
  max(i1-i0,j1-j0),
  dp[i0 -> k][j0->j1] + dp[k+1->i1][j0->j1],
  dp[i0 -> i1][j0 -> k] + dp[i0->i1][k+1->j1],
)

时间复杂度 O(枚举长 * 枚举宽 * 枚举左上角坐标 * 状态转移) = O(n * n * (n * n) * n) = O(n^5)

能过

代码 Rust

920ms/1s 强行 过了,慢应该是用Vec的原因,如果换成c++的直接数组的话，应该能快很多，// 我暂时还没玩会Rust的多维数组

CODE URL

#![allow(unused_imports)]
use std::cmp::*;
use std::collections::*;

struct Scanner {
   buffer : std::collections::VecDeque<String>
}

impl Scanner {

   fn new() -> Scanner {
      Scanner {
         buffer: std::collections::VecDeque::new()
      }
   }

   fn next<T : std::str::FromStr >(&mut self) -> T {

      if self.buffer.len() == 0 {
         let mut input = String::new();
         std::io::stdin().read_line(&mut input).ok();
         for word in input.split_whitespace() {
            self.buffer.push_back(word.to_string())
         }
      }

      let front = self.buffer.pop_front().unwrap();
      front.parse::<T>().ok().unwrap()
   }
}

fn main() {
    let mut s = Scanner::new();
    let n : usize = s.next();
    // dp[top i][left j][bottom i][right j] 全部清理 需要的最小代价
    let mut dp = vec![vec![vec![vec![0;n+1];n+1];n+1];n+1];
    for i in 0..n {
        let line:String = s.next();
        for (j, ch) in line.chars().enumerate() {
            if ch == '#' {
                dp[i][j][i][j] = 1;
            }
        }
    }
    // 枚举 矩形大小从小到大
    for i in 0..n {
        for j in 0..n {
            if i == 0 && j == 0 {
                continue;
            }
            // 枚举 矩形左上角坐标
            for p in 0..n-i {
                for q in 0..n-j {
                    // 右下角坐标
                    let (x,y) = (i+p,j+q);
                    dp[p][q][x][y] = max(i,j)+1;
                    for k in p..x {
                        dp[p][q][x][y]=min(dp[p][q][x][y],dp[p][q][k][y]+dp[k+1][q][x][y]);
                    }
                    for k in q..y {
                        dp[p][q][x][y]=min(dp[p][q][x][y],dp[p][q][x][k]+dp[p][k+1][x][y]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    println!("{}",dp[0][0][n-1][n-1]);
}