生成树的个数——基尔霍夫定理（Matrix-Tree Theorem）

树有很多种形态，给定结点个数，求生成不同形态二叉树的个数，显然要用到Catalan数列。

那如果给定一个图（Graph）\(G=(V,E)\)，要求其最小生成树G'，最好的方法莫过于Prim或Kruskal了。

上图就是一种求最小生成树的方法。

可要求图G中不同生成树的总个数呢？
这里要用到Kirchhoff's theoreom，一个神奇的定理。

这里只做简单的介绍，并不给出严格的证明。
详细内容请参见Wikipedia::Kirchhoff's theorem
以及芜湖一中 周冬さん的生成树的计数及其应用 论文版

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符号约定：

• 图\(G\)
• 度数矩阵\(D[G]\)
• 邻接矩阵\(A[G]\)，其中，若存在边\((v_i,v_j)\)，则记\(a_{ij}=a_{ji}=1\)
• Kirchhoff矩阵\(C[G]=D[G]-A[G]\)

删去\(C[G]\)中的第r行和第r列，得到\(C_r[G]\)

计算\(C_r[G]\)的行列式\(det C_r[G]\)，得出的结果记为\(d\)
则\(G\)的生成树个数\(t(G)=|d|\)

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至此，我们解决了这个不常见的问题。