P4313 文理分科 最小割

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$

文理分科是一件很纠结的事情！（虽然看到这个题目的人肯定都没有纠结过）

小P所在的班级要进行文理分科。他的班级可以用一个n*m的矩阵进行描述，每个格子代表一个同学的座位。每位同学必须从文科和理科中选择一科。同学们在选择科目的时候会获得一个满意值。满意值按如下的方式得到：

1. 如果第i行第秒J的同学选择了文科，则他将获得art[i][j]的满意值，如果选择理科，将得到science[i][j]的满意值。
2. 如果第i行第J列的同学选择了文科，并且他相邻（两个格子相邻当且仅当它们拥有一条相同的边）的同学全部选择了文科，则他会更开心，所以会增加same_art[i][j]的满意值。
3. 如果第i行第j列的同学选择了理科，并且他相邻的同学全部选择了理科，则增加same_science[i][j]的满意值。

小P想知道，大家应该如何选择，才能使所有人的满意值之和最大。请告诉他这个最大值。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

第一行为两个正整数：n，m

接下来n行m个整数，表示art[i][j]；

接下来n行m个整数．表示science[i][j]；

接下来n行m个整数，表示same_art[i][j]；

接下来n行m个整数，表示same_science[i][j]；

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

输出为一个整数，表示最大的满意值之和

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

3 4
13 2 4 13
7 13 8 12
18 17 0 5
8 13 15 4
11 3 8 11
11 18 6 5
1 2 3 4
4 2 3 2
3 1 0 4
3 2 3 2
0 2 2 1
0 2 4 4

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

152

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

1表示选择文科，0表示选择理科，方案如下：

1 0 0 1

0 1 0 0

1 0 0 0

N,M<=100,读入数据均<=500

\(\color{#0066ff}{题解}\)

根据题目，每个人要么选文，要么选理，当然是最小割了

然后我们考虑建图

首先最基本的，显然可以弄出n*m个点，s向这些点连文科的边，这些点向t连理科的边

割掉哪个哪个不选

对于每一个额外的值，只要那些人中有一个人没符合要求，就必须剪掉！

也就是说，如果不割掉，那么就联通了

可以建立一个虚点，s向虚点连文科额外的分，这个虚点向对应的\(1-5\)个点连inf的边（割不了）

这样的话，理科有一个边没割（代表有人选理）就不会获得文科额外价值，理科同理也建立虚点

最后总共的-最大流(最小割)即可

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
	char ch; LL x = 0, f = 1;
	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
	return x * f;
}
const int inf = 0x7ffffff;
const int maxn = 1e5 + 10;
const int maxm = 120;
struct node {
	int to, can;
	node *nxt, *rev;
	node(int to = 0, int can = 0, node *nxt = NULL): to(to), can(can), nxt(nxt) { rev = NULL; }
};
node *head[maxn], *cur[maxn];
int dep[maxn];
int wen[maxm][maxm], li[maxm][maxm], ww[maxm][maxm], ll[maxm][maxm];
int n, m, s, t, tot;
bool bfs() {
	for(int i = s; i <= t; i++) dep[i] = 0, cur[i] = head[i];
	std::queue<int> q;
	dep[s] = 1;
	q.push(s);
	while(!q.empty()) {
		int tp = q.front(); q.pop();
		for(node *i = head[tp]; i; i = i->nxt)
			if(!dep[i->to] && i->can)
				dep[i->to] = dep[tp] + 1, q.push(i->to);
	}
	return dep[t];
}
int dfs(int x, int change) {
	if(x == t || !change) return change;
	int flow = 0, ls;
	for(node *&i = cur[x]; i; i = i->nxt) {
		if(dep[i->to] == dep[x] + 1 && (ls = dfs(i->to, std::min(change, i->can)))) {
			flow += ls;
			change -= ls;
			i->can -= ls;
			i->rev->can += ls;
			if(!change) break;
		}
	}
	return flow;
}
int id(int x, int y) { return (x - 1) * m + y; }
void add(int from, int to, int can) {
	head[from] = new node(to, can, head[from]);
}
void link(int from, int to, int can) {
	add(from, to, can), add(to, from, 0);
	(head[from]->rev = head[to])->rev = head[from];
}
int dinic() {
	int flow = 0;
	while(bfs()) flow += dfs(s, inf);
	return flow;
}

int main() {
	n = in(), m = in();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++)
			wen[i][j] = in();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++)
			li[i][j] = in();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++)
			ww[i][j] = in();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++)
			ll[i][j] = in();

	int tot = 0;
	s = 0, t = 3 * n * m + 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++) {
			tot += wen[i][j];
			link(s, id(i, j), wen[i][j]);
			tot += li[i][j];
			link(id(i, j), t, li[i][j]);
		}
	int now = n * m;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++) {
			now++;
			link(s, now, ww[i][j]), tot += ww[i][j];
			link(now, id(i, j), inf);
			if(i != 1) link(now, id(i - 1, j), inf);
			if(i != n) link(now, id(i + 1, j), inf);
			if(j != 1) link(now, id(i, j - 1), inf);
			if(j != m) link(now, id(i, j + 1), inf);
		}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++) {
			now++;
			link(now, t, ll[i][j]), tot += ll[i][j];
			link(id(i, j), now, inf);
			if(i != 1) link(id(i - 1, j), now, inf);
			if(i != n) link(id(i + 1, j), now, inf);
			if(j != 1) link(id(i, j - 1), now, inf);
			if(j != m) link(id(i, j + 1), now, inf);
		}
	printf("%d\n", tot - dinic());
	return 0;
}