EGF：指数型生成函数

对于一个数列 \(<a_n>\)，定义其指数型生成函数（EGF）\(\hat{a}(x)=\displaystyle\sum_{n\ge 0}\dfrac{a_n}{n!}x^n\)。

例，排列数 \(p_i=i!\) 的 EGF：\(\hat{p}(x)=\displaystyle\sum_{n\ge 0}\dfrac{p_n}{n!}x^n=\sum_{n\ge 0}x^n=\dfrac{1}{1-x}\)。（最后一步错位相减）

圆排列 \(q_i=(i-1)!\) 的 EGD：\(\hat{q}(x)=\displaystyle\sum_{n\ge 1}\dfrac{(n-1)!}{n!}x^n=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}=\ln \dfrac{1}{1-x}\)。

我们发现 \(\hat{p}(x)=\exp(\hat{q}(x))\)！

\(\exp(f(x))=\displaystyle\sum_{i\ge 0}\dfrac{f(x)^i}{i!}\)，这是一个复合函数。

定理：若 \(<a_n>\) 的 EGF 为 \(\hat{A}(x)\)，\(<b_n>\) 的 EGF 为 \(\hat{B}(x)\)，\(<c_n>\) 的 EGF 为 \(\hat{C}(x)\)，则 \(c_n=\displaystyle\sum_{i+j=n}(^n_i)a_ib_j\)。即 \(c\) 是 \(a,b\) 的二项式卷积结果。

【应用】

EGF 常用于计数对象的拼接。

1. \(n\) 个点恰好组成一棵树的方案数 \(t_n=n^{n-2}\)。（Cayley 公式）

2. \(n\) 个点恰好组成一个圈（禁止重边自环）的方案数 \(c_n=\begin{cases}(n-1)!/2&n>2\\0&n\le 2\end{cases}\)

组合问题：\(n\) 个点恰好组成一棵树和一个圈的方案数 \(a_n\) 是多少？

\(a_n=\sum_{i=0}^nC_{n}^it_ic_{n-i}\)，即从 \(n\) 个点里选若干个点组成树，其余的组成圈。

发现 \(a_n\) 就是 \(t_n,c_n\) 的二项式卷积，所以 \(a_n\) 的 EGF 等于 \(t_n,c_n\) 的 EGF 乘积。