P2885 [USACO07NOV]电话线Telephone Wire——Chemist
题目:
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2885
由于把每一根电线杆增加多少高度不确定,所以很难直接通过某种方法算出答案,考虑动态规划。
状态:f [ i ] [ j ]表示当第i根电线杆的高度为j时的最小代价和。
转移:当前电线杆的高度只会影响它下一个电线杆的高度,所以就是用前一维的答案来更新后一维。在计算第i根电线杆和第i-1根电线杆时需要计算三部分答案:1.将第i根电线杆增加到j高度的代价 ( j - h [ i ])*(j - h [ i ] )。2.到第i-1根电线杆时的最小花费f [ i-1 ] [ k ](由于我们并不知道第i-1根电线杆的高度,所以需要枚举第i-1根电线杆的高度k)3. 第i根电线杆到第i-1根电线杆之间电线的代价( j - k )*C
由此我们得到转移方程:f [ i ] [ j ] = ( j - h [ i ] )^2 + min( f [ i - 1 ] [ k ] + | j - k |*C )
然而这需要我们用三重循环枚举,时间复杂度是O( n*C*C ),会超时(好像有人用这个卡过了。。。)。
优化:
我们把绝对值拆开来可以得到一个分段函数:
f [ i ] [ j ] = ( j - h [ i ] )^2 + min( f [ i - 1 ] [ k ] + j * C - k * C) ,j>=k
f [ i ] [ j ] = ( j - h [ i ] )^2 + min( f [ i - 1 ] [ k ] + k * C - j * C ) ,j < k
我们把 j * C从min中提出来,就变成了:
f [ i ] [ j ] = ( j - h [ i ] )^2 + j * C + min( f [ i - 1 ] [ k ] - k * C) ,j>=k
f [ i ] [ j ] = ( j - h [ i ] )^2 - j * C + min( f [ i - 1 ] [ k ] + k * C ) ,j < k
我们可以发现,min里面的东西只与k和i有关而与j无关,所以我们可以在外层枚举i,在内层预处理出f [ i - 1 ] [ k ] - k * C的前缀最小值和f [ i - 1 ] [ k ] + k * C的后缀最小值,然后再枚举j,这是就可以直接O(1)调用min(...)了。
同时由于每一维的状态只与上一维有关且不需要记录答案,所以可以通过滚动数组来将空间复杂度进一步优化到O(C)。
代码:(注意赋初值等细节)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read()
{
int ans=;
char ch=getchar(),last=' ';
while(ch<''||ch>'')
{last=ch;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<='')
{ans=ans*+ch-'';ch=getchar();}
if(last=='-')ans=-ans;
return ans;
}
const int M=1e5+,inf=1e9+;
int n,C,h[M],f[M][],m;
//f[i][j]表示第i根电线杆的高度为j时的最小代价和
int l[],r[];
int main()
{
n=read();C=read();
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=;i<=n;i++)
h[i]=read(),m=max(m,h[i]);
for(int i=h[];i<=m;i++)
f[][i]=(i-h[])*(i-h[]);
for(int i=;i<=n;i++)
{
l[h[i-]-]=inf;
r[m+]=inf;
for(int k=h[i-];k<=m;k++)
l[k]=min(l[k-],f[i-][k]-k*C);
for(int k=m;k>=h[i];k--)
r[k]=min(r[k+],f[i-][k]+k*C);
for(int j=h[i-];j<=m;j++)
if(j>=h[i])f[i][j]=l[j]+(j-h[i])*(j-h[i])+C*j;
for(int j=m;j>=h[i];j--)
f[i][j]=min(f[i][j],r[j]-C*j+(j-h[i])*(j-h[i]));
}
int ans=inf;
for(int i=h[n];i<=m;i++)
ans=min(ans,f[n][i]);
printf("%d\n",ans);
return ;
}
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