LCS的几种求法

$ LCS: $

对于两个长度均为 $ N $ 的数列 $ A $ 和 $ B $ ，存在一个数列 $ C $ 使得 $ C $ 既是 $ A $ 的子序列有事 $ B $ 的子序列，现在需要求这个数列的最长的长度，这就是最长公共子序列。

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$ solution\quad 1: $

这道题是世界上最经典的DP题之一，我们可以知道我们做需要求的子序列中的任意一个元素在 $ A $ 和 $ B $ 中都存在，所以我们可以设出状态即 $ F[i][j] $ 表示我们已经匹配了 $ A $ 的前 $ i $ 位和 $ B $ 的前 $ j $ 位所得到的最长公共子序列。这样是很好写转移方程的：

$ F[i][j]=max{F[i-1][j-1]+[A[i]==B[j]]\quad ,\quad F[i-1][j] \quad ,\quad F[i][j-1] } $

$ code\quad 1: $

#include<iostream>
using namespace std;
int f[1001][1001],a[2001],b[2001],n,m;
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
			if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
		}
    cout<<f[n][m];
}

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$ solution\quad2 : $

还有一种 $ nlogn $ 的算法，它的思路很奇妙，我们用数列 $ A $ 将数列 $ B $ 里的元素离散化，就是把数列 $ B $ 里的元素在改为这个元素在数列 $ A $ 中的位置（显然我们首先还要把两个数列中不公共的元素删除）。然后我们发现只要是此时数列 $ B $ 中的上升子序列，就是两个数列的公共子序列。于是题目就变成了最长上升子序列。

然后我们回顾一下之前讲的LIS（最长上升子序列）的三种经典求法，就不难写出这道题目了！

然后有一个需要注意的地方：这两个数列的元素可能出现重复（不过这应该不影响我们的算法），只是我们离散化时还要考虑一下相同元素的顺序。这里放的代码对应洛谷P1439 【模板】最长公共子序列 （博主用的方法对应上一章最长上升子序列的第三种求法）

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$ code\quad 2: $

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>

#define ll long long
#define db double
#define inf 0x7fffffff
#define rg register int

using namespace std;

int a[100001];
int b[100001];
int n,top,l,r,mid;

inline int qr(){
    char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
    int res=ch^48;
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
        res=res*10+(ch^48);
    return res;
}

int main(){
    //freopen(".in","r",stdin);
    //freopen(".out","w",stdout);
    n=qr();
    for(rg i=1;i<=n;++i) b[qr()]=i;
    for(rg i=1;i<=n;++i) a[i]=b[qr()];
    for(rg i=1;i<=n;++i){
        l=1;r=top;
        while(l<=r){
            mid=(l+r)>>1;
            if(b[mid]<=a[i]){
                l=mid+1;
                continue;
            }r=mid-1;
        } b[l]=a[i];
        if(l>top)++top;
    }printf("%d\n",top);
    return 0;
}