第十五届蓝桥杯javaA组 砍柴 （两种写法）详解

参考资料

原题链接砍柴 - 蓝桥云课 (lanqiao.cn)

区间质数搜索——埃拉托斯特尼筛法和欧拉筛法-CSDN博客

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思路

质数筛 + 二分 + 博弈 + 状态机（只因bushi）

$$

状态转移方程 dp[i] = !dp[i-p]

$$

由原始题意可以看出

砍树长度限制为小于其长度的质数——暗示你使用质数筛

交替砍柴——状态机

最优策略——寻找小于当前长度的使自己必胜的质数 p——二分搜索加快速度

状态机定义 dp[i] 表示长度为 i 时先手的胜负态

代码 1 ——优化埃氏筛

import java.util.*;
public class Main {
    static int t;
    static int []wood;
    static List<Integer> primes;
    // 求2~n的所有质数  优化埃氏筛法
    static void Sieve(int n){
        primes = new ArrayList<>();
        boolean []st = new boolean[n+1];
        //添加2~根号n的所有质数，并标记<=n的所有合数
        for(int i = 2;i*i<n;i++){
            if(!st[i]){
                primes.add(i);
                for(int j = i*i;j<=n;j+=i){//根据当前质因子筛去其倍数
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
        //添加根号n到n的所有质数
        for(int i = (int)Math.sqrt(n)+1;i<=n;i++){
                if(!st[i]){
                    primes.add(i);
                }
            }
    }
    // 求小于n的最大质数
    static int maxPrimeLt(int n){
        int l = 0,r = primes.size()-1;
        while(l<r){
            int mid = l + r + 1>>1;
            if(primes.get(mid)>n){
                r = mid - 1;
            }
            else{
                l = mid;
            }
        }
        return l;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        t = sc.nextInt();
        wood = new int[t];
        int maxLen = 0;
        //接收t根木头并求得最大长度
        for (int i = 0; i < t; i++) {
            int val = sc.nextInt();
            maxLen = Math.max(maxLen, val);
            wood[i] = val;
        }
        // 求2~maxLen的所有质数
        Sieve(maxLen);
        //状态数组
        boolean []dp = new boolean[maxLen+1];
        //状态转移方程 dp[i] = !dp[i-p]  p为小于i的最大质数  存在即可说明状态转移成功
        for(int i = 2;i<=maxLen;i++){//枚举所有可能砍去的长度
            for(int j = maxPrimeLt(i);j>=0;j--){//枚举状态转移的长度，即下一步的状态
                if(!dp[i-primes.get(j)]){
                    dp [i] = true;
                    break; //存在即可说明状态转移成功
                }
            }
        }
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        for(int i = 0;i<t;i++){
            if(dp[wood[i]])
                res.append("1\n");
            else
                res.append("0\n");
        }
        System.out.println(res);
        sc.close();
    }
}

代码 2——欧拉筛

import java.util.*;
public class Main {
    static int t;
    static int []wood;
    static List<Integer> primes;
    // 求2~n的所有质数  优化埃氏筛法
    static void Sieve(int n){
        primes = new ArrayList<>();
        boolean []st = new boolean[n+1];
        for(int i = 2;i<=n;i++){
            if(!st[i]){
                primes.add(i);
            }
            for(Integer p:primes){
                if(i*p>n)
                    break;
                st[i*p] = true;
                if(i%p==0){
                    break;
                }
            }
        }
    }
    // 求小于n的最大质数
    static int maxPrimeLt(int n){
        int l = 0,r = primes.size()-1;
        while(l<r){
            int mid = l + r + 1>>1;
            if(primes.get(mid)>n){
                r = mid - 1;
            }
            else{
                l = mid;
            }
        }
        return l;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        t = sc.nextInt();
        wood = new int[t];
        int maxLen = 0;
        //接收t根木头并求得最大长度
        for (int i = 0; i < t; i++) {
            int val = sc.nextInt();
            maxLen = Math.max(maxLen, val);
            wood[i] = val;
        }
        // 求2~maxLen的所有质数
        Sieve(maxLen);
        //状态数组
        boolean []dp = new boolean[maxLen+1];
        //状态转移方程 dp[i] = !dp[i-p]  p为小于i的最大质数  存在即可说明状态转移成功
        for(int i = 2;i<=maxLen;i++){//枚举所有可能砍去的长度
            for(int j = maxPrimeLt(i);j>=0;j--){//枚举状态转移的长度，即下一步的状态
                if(!dp[i-primes.get(j)]){
                    dp [i] = true;
                    break; //存在即可说明状态转移成功
                }
            }
        }
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        for(int i = 0;i<t;i++){
            if(dp[wood[i]])
                res.append("1\n");
            else
                res.append("0\n");
        }
        System.out.println(res);
        sc.close();
    }
}