LOJ #2142. 「SHOI2017」相逢是问候（欧拉函数 + 线段树）

题意

给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(\{a_i\}\) 以及一个数 \(p\) ，现在有 \(m\) 次操作，每次操作将 \([l, r]\) 区间内的 \(a_i\) 变成 \(c^{a_i}\) 。

或者询问 \([l, r]\) 之间所有 \(a_i\) 的和对 \(p\) 取模的结果 。

\(n, m \le 5 \times 10^4, p \le 2^{14}\)

题解

考虑欧拉降幂（扩展欧拉定理），不会的可以看 这篇博客 。

然后对于这些不断叠加的指数，有如下式子

\[\begin{align}
& \quad \ c^{c^x} &\pmod p \\
& \equiv c^{{c^x} \bmod \varphi(p) + \varphi(p)} &\pmod p \\
& \equiv c^{{c^{x \bmod \varphi(\varphi(p)) + \varphi(\varphi(p)) }} \mod \varphi(p) + \varphi(p)} &\pmod p
\end{align}
\]

我们发现多次操作后 \(\varphi(...\varphi(p)) = 1\) 时，最高层就 \(\bmod\) 变成 \(0\) ，然后结果以后就不会改变了。

这个次数约是 \(O(\log p)\) 次的，我们就有个很直观的想法。

考虑预处理每个数进行多次操作后变成的数，然后每次暴力改需要改的数。

然后对于线段树每个区间，维护这个区间中的数改变次数的最小值，如果最小值 \(\ge\) 当前的 \(\varphi\) 的层数，直接退出即可。

---

至于预处理十分的麻烦，不仅快速幂需要考虑是否 \(\ge \varphi(p)\) ，而且每次乘法都需要考虑这个qwq

然后为了降低复杂度，我们在预处理的时候，对于底数 \(c\) 求一个幂次对于 \(p\) 模的值，可以利用大步小步预处理也就是 \(\sqrt p\) 打个表，然后最后复杂度就可以做到 \(O(\sqrt p \log^2 p + n (\log n + \log p)) \log p)\) 了。

总结

对于不断开方，或者与幂次有关的题，考虑欧拉扩展定理就行啦 qwq 因为是不超过 \(O(\log p)\) 层的。

代码

具体看看代码实现qwq

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

using namespace std;

typedef long long ll;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("2142.in", "r", stdin);
	freopen ("2142.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 5e4 + 1e3;

inline int phi(int x) {
	int res = x;
	For (i, 2, sqrt(x + .5)) if (!(x % i)) {
		while (!(x % i)) x /= i;
		res = res / i * (i - 1);
	}
	if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
	return res;
}

inline int fpm(int x, int power, int mod) {
	int res = 1;
	for (; power; power >>= 1, x = 1ll * x * x % mod + (1ll * x * x >= mod) * mod)
		if (power & 1) res = 1ll * res * x % mod + (1ll * res * x >= mod) * mod;
	return res;
}

int n, m, Mod, c;

int a[N], Phi[33], val[N][33], lim = 0;

const int Block = 1 << 14, All = Block - 1;
int Pow1[N][33], Pow2[N][33];

void Math_Init() {
	for (Phi[0] = Mod; Phi[lim] > 1; ++ lim)
		Phi[lim + 1] = phi(Phi[lim]);
	Phi[++ lim] = 1;

	For (j, 1, lim) {
		int cur = fpm(c, Block, Phi[j]);
		Pow1[0][j] = Pow2[0][j] = 1;
		For (i, 1, Block - 1) {
			Pow1[i][j] = 1ll * Pow1[i - 1][j] * cur % Phi[j] + (1ll * Pow1[i - 1][j] * cur >= Phi[j]) * Phi[j];
			Pow2[i][j] = 1ll * Pow2[i - 1][j] * c % Phi[j] + (1ll * Pow2[i - 1][j] * c >= Phi[j]) * Phi[j];
		}
	}

	For (i, 1, n) {
		val[i][0] = a[i];
		For (j, 1, lim) {
			int cur = a[i] % Phi[j] + (a[i] >= Phi[j]) * Phi[j];
			Fordown (k, j - 1, 1) {
				cur = 1ll * Pow1[cur / Block][k] * Pow2[cur & All][k] % Phi[k]
					+ (1ll * Pow1[cur / Block][k] * Pow2[cur & All][k] >= Phi[k]) * Phi[k];
			}
			val[i][j] = fpm(c, cur, Mod) % Mod;
		}
	}
}

inline int Plus(int a, int b) {
	return (a += b) >= Mod ? a - Mod : a;
}

#define lson o << 1, l, mid
#define rson o << 1 | 1, mid + 1, r

template<int Maxn>
struct Segment_Tree {

	int times[Maxn], sumv[Maxn];

	inline void Push_Up(int o) {
		sumv[o] = Plus(sumv[o << 1], sumv[o << 1 | 1]);
		times[o] = min(times[o << 1], times[o << 1 | 1]);
	}

	void Build(int o, int l, int r) {
		if (l == r) { sumv[o] = a[l] % Mod; return ; }
		int mid = (l + r) >> 1;
		Build(lson); Build(rson); Push_Up(o);
	}

	void Update(int o, int l, int r, int ul, int ur) {
		if (times[o] >= lim) return ;
		if (ul <= l && r <= ur) ++ times[o];
		if (l == r) { sumv[o] = val[l][times[o]]; return ; }
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (ul <= mid) Update(lson, ul, ur);
		if (ur > mid) Update(rson, ul, ur); Push_Up(o);
	}

	int Query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
		if (ql <= l && r <= qr) return sumv[o];
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (qr <= mid) return Query(lson, ql, qr);
		if (ql > mid) return Query(rson, ql, qr);
		return Plus(Query(lson, ql, qr), Query(rson, ql, qr));
	}

};

Segment_Tree<N << 2> T;

int main () {

	File();

	n = read(); m = read(); Mod = read(); c = read();

	For (i, 1, n) a[i] = read();

	Math_Init(); T.Build(1, 1, n);

	For (i, 1, m) {
		int opt = read(), l = read(), r = read();
		if (!opt)
			T.Update(1, 1, n, l, r);
		else
			printf ("%d\n", T.Query(1, 1, n, l, r));
	}

	return 0;

}