LOJ #2145. 「SHOI2017」分手是祝愿

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LOJ #2145

题解

一道画风正常的……期望DP？

首先考虑如何以最小步数熄灭所有灯：贪心地从大到小枚举灯，如果它亮着则修改它。可以求出总的最小步数，设为\(cnt\)。

然后开始期望DP。设\(dp[i]\)为当前最小步数是\(i\)，总最小步数是\(i\)，要达到最小步数是\(i - 1\)的状态，期望要走多少步。则有\(\frac{i}{n}\)的几率恰好走了该走的一步，而有\(\frac{n - i}{n}\)的几率走错了（回到了\(dp[i + 1]\)表示的状态）。

则：$$dp[i] = \frac{i}{n} + \frac{n - i}{n}(1 + dp[i + 1] + dp[i])$$

就可以推出来了。

答案就是：\((\sum_{i = k + 1}^{cnt} dp[i] + min(cnt, k)) * n!\)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
using namespace std;
typedef long long ll;
template <class T>
void read(T &x){
    char c;
    bool op = 0;
    while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
	if(c == '-') op = 1;
    x = c - '0';
    while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
	x = x * 10 + c - '0';
    if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);
}

const int N = 100005, P = 100003;
int n, m, a[N], cnt;
ll dp[N], ans;

ll qpow(ll a, ll x){
    ll ret = 1;
    while(x){
	if(x & 1) ret = ret * a % P;
	a = a * a % P;
	x >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main(){

    read(n), read(m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
    for(int i = n; i; i--)
	if(a[i]){
	    cnt++;
	    for(int j = 1; j * j <= i; j++)
		if(i % j == 0){
		    a[j] ^= 1;
		    if(j * j < i) a[i / j] ^= 1;
		}
	}
    for(int i = n; i; i--)
	dp[i] = 1 + (n - i) * qpow(i, P - 2) % P * (1 + dp[i + 1]) % P;
    for(int i = cnt; i > m; i--)
	ans = (ans + dp[i]) % P;
    ans = (ans + min(cnt, m)) % P;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
	ans = ans * i % P;
    write(ans), enter;

    return 0;
}