BZOJ 3745: [Coci2015]Norma（分治）

题意

给定一个正整数序列 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) ，求

\[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} (j - i + 1) \min(a_i,a_{i+1},\cdots,a_j) \max(a_i,a_{i+1},\cdots,a_j) \pmod {10^9}
\]

\(n \le 5\times 10^5, a_i \le 10^9\)

题解

对于这种求一段区间内所有子区间答案和的东西，我们常常可以考虑分治解决。

通常思路是这样的：

假设我们计算 \([l, r]\) 这段区间的答案和。令 \(\displaystyle mid = \lfloor \frac{l + r}{2} \rfloor\) 。

我们分治计算全在 \([l, mid]\) 以及 \([mid + 1, r]\) 区间的答案。

然后计算跨过 \(mid\) 的区间的答案。也就是左端点在 \([l, mid]\) 并且右端点在 \([mid + 1, r]\) 中的区间。

最后所有区间答案加起来就行了，正确性是显而易见的，因为一个区间要么全在左边，要么全在右边，要么跨过中点。

接下来难点就在跨过区间的答案计算上。

通常的话我们可以枚举一个端点，快速计算另外一个端点的贡献。

首先可以从 \(mid\) 到 \(l\) 枚举这个区间的左端点 \(x\) ，令 \([x, mid]\) 的最小值为 \(a\) ，最大值为 \(b\) 。

两个单调指针 \(p,q\) 从 \(mid\) 向右走（最多到 \(r\) ），分别指向使得 \([mid/x, i]\) 最小值/最大值 为 \(a\) / \(b\) 的最大位置 \(i\) 。

我们把区间右端点 \(y\) 分三种情况讨论。

1. 对于 \(y \in [mid + 1, \min \{p, q\}]\) 这一部分 \(\min = a, \max = b\) 。那么答案就是

   \[\sum_{y=mid+1}^{ \min \{p, q\}} (y - x + 1) \times a \times b
   \]

   这部分用高斯求和优化即可。

2. 对于 \(y \in (\min \{p, q\}, \max \{p, q\}]\) 这部分，会有两种情况，本质是一样的。

   我们讨论 \(p < q\) 这种，那么答案就是

   \[\sum_{y=\min \{p, q\}+1}^{\max \{p, q\}} (\min_{k = mid}^{y} a_k) \times(y - x + 1) \times b
   \]

   我们可以考虑预处理 \(\displaystyle \sum_{y=1}^{n} (\min_{k = mid}^{y}a_k)~y\) 以及 \(\displaystyle \sum_{y=1}^{n} (\min_{k = mid}^{y}a_k)\) 就行了。那么每次计算就是前缀和相减，然后乘上系数就行了。

3. 对于最后一部分 \(y \in (\max \{p, q\}, r]\) ，那么我们类似与上面那个式子处理

   \[\sum_{y=\max \{p, q\}+1}^{r} (\min_{k = mid}^{y} a_k) (\max_{k = mid}^{y} a_k) \times(y - x + 1)
   \]

   那么我们只需要考虑预处理 \(\displaystyle \sum_{y=1}^{n}(\min_{k = mid}^{y} a_k)(\max_{k = mid}^{y} a_k)~y\) 以及 \(\displaystyle \sum_{y=1}^{n}(\min_{k = mid}^{y} a_k)(\max_{k = mid}^{y} a_k)\) ，类似于上面那个式子前缀和相减就行了。

然后这样就可以做完了，每次操作只需要扫一遍区间，所以复杂度就是 \(O(n \log n)\) 的。

总结

考虑所有子区间答案，或者所有点对的答案，可以尝试考虑分治。

然后继续考虑枚举一个端点，另外一个端点用一些特殊结构快速计算就行了。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

using namespace std;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
    return x * fh;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("3745.in", "r", stdin);
	freopen ("3745.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 5e5 + 1e3, inf = 0x7f7f7f7f, Mod = 1e9;

int n, a[N]; int ans = 0;

int Sum(int l, int r) { return (1ll * (r - l + 1) * (r + l) / 2) % Mod; }

int SMM[N], SMMP[N], SMax[N], SMin[N], SMaxp[N], SMinp[N]; int Minv[N], Maxv[N];
// SumMaxMin SunMaxMinPos SumMax SumMin SumMaxPos SumMinpos MinVal MaxVal

inline int Add(int a, int b) {
	return (a += b) >= Mod ? a - Mod : a;
}

void Solve(int l, int r) {
	if (l == r) { ans = Add(ans, 1ll * a[l] * a[r] % Mod); return ; }
	int mid = (l + r) >> 1; Solve(l, mid); Solve(mid + 1, r);

	int p = mid, q = mid;
	int minl = a[mid], maxl = a[mid];

	SMM[mid] = SMMP[mid] = SMax[mid] = SMin[mid] = SMaxp[mid] = SMinp[mid] = 0;
	For (i, mid + 1, r) {
		if (i == mid + 1) {
			Minv[i] = Maxv[i] = SMax[i] = SMin[i] = a[i];
			SMinp[i] = SMaxp[i] = 1ll * a[i] * i % Mod;
			SMM[i] = 1ll * a[i] * a[i] % Mod; SMMP[i] = 1ll * i * a[i] % Mod * a[i] % Mod;
			continue ;
		}
		Minv[i] = min(a[i], Minv[i - 1]);
		Maxv[i] = max(a[i], Maxv[i - 1]);

		SMin[i] = Add(SMin[i - 1], Minv[i]);
		SMax[i] = Add(SMax[i - 1], Maxv[i]);
		SMinp[i] = Add(SMinp[i - 1], 1ll * Minv[i] * i % Mod);
		SMaxp[i] = Add(SMaxp[i - 1], 1ll * Maxv[i] * i % Mod);
		SMM[i] = Add(SMM[i - 1], 1ll * Minv[i] * Maxv[i] % Mod);
		SMMP[i] = Add(SMMP[i - 1], 1ll * i * Minv[i] % Mod * Maxv[i] % Mod);
	}

	Fordown (i, mid, l) {
		chkmin(minl, a[i]); chkmax(maxl, a[i]);

		while (p < r && Minv[p + 1] >= minl) ++ p;
		while (q < r && Maxv[q + 1] <= maxl) ++ q;

		int gapl = min(p, q), gapr = max(p, q);
		ans = Add(ans, 1ll * Sum(mid - i + 2, gapl - i + 1) * minl % Mod * maxl % Mod);
		if (p < q) ans = Add(ans, (((SMinp[q] - SMinp[p]) - 1ll * (SMin[q] - SMin[p]) * (i - 1)) % Mod + Mod) * maxl % Mod);
		if (p > q) ans = Add(ans, (((SMaxp[p] - SMaxp[q]) - 1ll * (SMax[p] - SMax[q]) * (i - 1)) % Mod + Mod) * minl % Mod);
		ans = Add(ans, (((SMMP[r] - SMMP[gapr]) - 1ll * (SMM[r] - SMM[gapr]) * (i - 1)) % Mod + Mod) % Mod);
	}
}

int main () {

	File();
	n = read(); For (i, 1, n) a[i] = read();
	Solve(1, n);
	printf ("%d\n", ans);

	return 0;
}