Bell(hdu4767+矩阵+中国剩余定理+bell数+Stirling数+欧几里德)

Bell

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Description

What? MMM is learning Combinatorics!? 
Looks like she is playing with the bell sequence now: 
bell[n] = number of ways to partition of the set {1, 2, 3, ..., n}

e.g. n = 3: 
{1, 2, 3} 
{1} {2 3} 
{1, 2} {3} 
{1, 3} {2} 
{1} {2} {3} 
so, bell[3] = 5

MMM wonders how to compute the bell sequence efficiently.

 

Input

T -- number of cases 
for each case: 
　　n (1 <= n < 2^31) 

 

Output

for each case: 
　　bell[n] % 95041567 

 

Sample Input

6

1

2

3

4

5

6

 

Sample Output

1

2

5

15

52

203

 

 

首先，我很高兴终于把这题给解出来了！！！自己有几个难点一直没想通，今天无聊的时候一想。然后思路莫名奇妙的顺了，一切都变的理所当然。。。然后，我趁热打铁，把思路一理，就被我A了！

题意：就是求n个数的非空集合的划分方法数；

例如n = 3

{1, 2, 3}

{1}  {2, 3}

{1, 2} {3}

{1, 3} {2}

{1} {2} {3}

所以Bell(3) = 5

给你一个n，求Bell(n) % 95041567的值

这道题涉及的知识比较多，，，本人觉得有一定的难度系数，没理解的，建议可以先从入门题刷起；

思路：

　　首先必须了解一个概念贝尔数（来自维基百科）& Stirling数（不懂的点链接）；

　　其次，如果你不懂Stirling数，那么自己动手推一下，其实这个还是简单的，杭电有一题简单的题，可以练习下：

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2512 相信很多同学都做过了，只是当时不知道是Stirling数，这里是第二类Stirling数；然后贝尔数呢，就是第二类Stirling数的和；

通过上面这个公式，我们可以利用矩阵计算大于n的贝尔数，方法是利用中国剩余定理，结合欧几里德和同余方程；首先我们输入n(假设，n>p，p是95041567的质因子，eg:n=50)，对n<50的Bell数进行预处理，构造一个p*p的矩阵；

利用公式求出，他们的余数存入数组at[i];质因子m[5]={31,37,41,43,47};利用中国剩余定理；求得余数！

转载请注明出处：寻找&星空の孩子

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4767

 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #define LL long long
 #define mod 95041567
 #define MM 50

 int m[]={,,,,};
 int Sti[MM][MM],bell[MM][MM];
 int at[];//各项余数

 void stirling2()
 {
     memset(Sti,,sizeof(Sti));
     Sti[][]=;
     for(int i=;i<=MM;i++)
     {
         for(int j=;j<=i;j++)
         {
             Sti[i][j]=(int)(Sti[i-][j-]+((LL)j*(LL)Sti[i-][j])%mod)%mod;
         }
     }
 }
 void init()
 {
     stirling2();
     for(int i=;i<;i++)
     {
         bell[i][]=;
         for(int j=;j<m[i];j++)
         {
             bell[i][j]=;
             for(int k=;k<=j;k++)
             {
                 bell[i][j]=(bell[i][j]+Sti[j][k])%m[i];
             }
 //            printf("%d\t%d\n",j,bell[i][j]);
         }
     }
 }
 struct Matrix
 {
     int mat[MM][MM];
 };

 Matrix multiply(Matrix a,Matrix b,int M)
 {
     Matrix c;
     memset(c.mat,,sizeof(c.mat));
     for(int i=;i<M;i++)
     {
         for(int j=;j<M;j++)
         {
             if(a.mat[i][j]==)continue;
             for(int k=;k<M;k++)
             {
                 if(b.mat[j][k]==)continue;
                 c.mat[i][k]=(c.mat[i][k]+a.mat[i][j]*b.mat[j][k])%M;
             }
         }
     }
     return c;
 }
 Matrix quickmod(Matrix a,int n,int M)
 {
     Matrix res;

     for(int i=;i<M;i++)
     {
         for(int j=;j<M;j++)
             res.mat[i][j]=(i==j);
     }

     while(n)
     {
         if(n&) res=multiply(res,a,M);
         n>>=;
         a=multiply(a,a,M);
     }
     return res;
 }

 int work(int n,int M,int k)
 {
     Matrix per;//基础矩阵；
     memset(per.mat,,sizeof(per.mat));
     per.mat[][M-]=;

     for(int i=;i<M;i++)
     {
             per.mat[i][i]=per.mat[i][i-]=;
     }

     Matrix tmp=quickmod(per,n/(M-),M);

     int ans[MM];
     for(int i=;i<M;i++)
     {
         ans[i]=;
         for(int j=;j<M;j++)
         {
             ans[i]=(ans[i]+bell[k][j]*tmp.mat[i][j])%M;
         }
     }
     return ans[n%(M-)];
 }
 void exgcd(int a,int b,int& d,int& x,int &y)
 {
     if(!b){d=a;x=;y=;}
     else
     {
         exgcd(b,a%b,d,y,x);
         y-=x*(a/b);
     }
 }
 int China(int r)
 {
     int Mc=;
     int Mi,d,x,y,as=;
     for(int i=;i<r;i++)
     {
         Mc*=m[i];
     }
     for(int i=;i<r;i++)
     {
         Mi=Mc/m[i];
         exgcd(Mi,m[i],d,x,y);
         as=(as+Mi*x*at[i])%Mc;
     }
     if(as<) as+=Mc;
     return as;
 }
 int main()
 {
     int T,n;
     scanf("%d",&T);

     init();
     while(T--)
     {
         scanf("%d",&n);
         for(int i=;i<;i++)
         {
             at[i]=work(n,m[i],i);
         }
         int sol=China();
         printf("%d\n",sol);
     }

     return ;
 }

时间过的好快，居然要期末考了，，，在学校的日子也不多了，aking2015......为了我们共同的梦！fighting！