斯特灵数 (Stirling数)

@维基百科

在组合数学，Stirling数可指两类数，都是由18世纪数学家James Stirling提出的。

第一类

s(4,2)=11

第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是个元素的项目分作个环排列的方法数目。常用的表示方法有。

换个较生活化的说法，就是有个人分成组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如：

1. {A,B},{C,D}
2. {A,C},{B,D}
3. {A,D},{B,C}
4. {A},{B,C,D}
5. {A},{B,D,C}
6. {B},{A,C,D}
7. {B},{A,D,C}
8. {C},{A,B,D}
9. {C},{A,D,B}
10. {D},{A,B,C}
11. {D},{A,C,B}

这可以用有向图来表示。

• 给定，有递归关系

递推关系的说明：考虑第n+1个物品，n+1可以单独构成一个非空循环排列，这样前n种物品构成k-1个非空循环排列，方法数为s(n,k-1)；也可以前n种物品构成k个非空循环排列，而第n+1个物品插入第i个物品的左边，这有n*s(n,k)种方法。

• 
• 
• 
• 
• 

是调和数的推广。

是递降阶乘多项式的系数：

第二类

第二类Stirling数是个元素的集定义k个等价类的方法数目。常用的表示方法有。

换个较生活化的说法，就是有个人分成组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1组，只有所有人在同一组这个方法，因此；若所有人分成4组，只可以人人独立一组，因此；若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即是：

1. {A,B},{C,D}
2. {A,C},{B,D}
3. {A,D},{B,C}
4. {A},{B,C,D}
5. {B},{A,C,D}
6. {C},{A,B,D}
7. {D},{A,B,C}

因此。

• 给定，有递归关系
• 递推关系的说明：考虑第n个物品，n可以单独构成一个非空集合，此时前n-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合， 方法数为S(n-1,k-1)；也可以前n-1种物品构成k个非空的不可辨别的 集合，第n个物品放入任意一个中，这样有k*S(n-1,k)种方法。
• 
• 
• 
• 

是二项式系数，B_n是贝尔数。

两者关系

是克罗内克尔δ。